A convergência quase certa não implica convergência completa

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Dizemos que convergem completamente para se para cada .X1,X2,Xϵ>0 n=1P(|XnX|>ϵ)<

Com o lema de Borel Cantelli, é fácil provar que a convergência completa implica convergência quase certa.

Estou procurando um exemplo, quase certo de que a convergência não pode ser comprovada com Borel Cantelli. Isto é, uma sequência de variáveis ​​aleatórias que converge quase certamente, mas não completamente.

Manuel
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Respostas:

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Let com a sigma-álgebra de Borel e medida uniforme . DefinirΩ=(0,1)Fμ

Xn(ω)=2+(1)n when ω1/n

e caso contrário. Os são obviamente mensuráveis ​​no espaço de probabilidade .Xn(ω)=0Xn(Ω,F,μ)

Figura

Para qualquer e todos os , é o caso de . Assim, por definição, a sequência converge para (não apenas com quase certeza!).ωΩN>1/ωXn(ω)=0(Xn)0

No entanto, sempre que , , de onde0<ϵ<1Pr(Xn>ϵ)=Pr(Xn0)=1/n

n=1Pr(Xn>ϵ)=n=11n,

que diverge para .

whuber
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Muito obrigado!. Dois comentários, existe um motivo para definir vez de ? segundo, deveria ser ?
Xn(ω)=2+(1)n when ω1/n
Xn(ω)=1 when ω1/n
Pr(Xn>ϵ)
Manuel
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1. Não há uma boa razão. Enquanto pensava nisso, usei o termo como um lembrete de que talvez não houvesse convergência nesses momentos. 2. Eu fixo os erro de digitação, obrigado. ±1<
whuber
O independente? Eles parecem ser para mim, o que pelo segundo lema de Borel Cantelli implicaria que a convergência não é quase certa. Xn
Rdrr 10/05/19
@Rdrr Então você não deve ter problemas para demonstrar que o não é independente. Xn
whuber