Qualidade do ajuste e qual modelo escolher regressão linear ou Poisson

Preciso de alguns conselhos sobre dois dilemas principais da minha pesquisa, que é um estudo de caso de três grandes produtos farmacêuticos e inovação. O número de patentes por ano é a variável dependente.

Minhas perguntas são

• Quais são os critérios mais importantes para um bom modelo? O que é mais / menos importante? Será que a maioria ou todas as variáveis ​​serão significativas? É o prob de "F ESTATISTIC"? É o valor de "R ajustado ao quadrado"?

• Segundo, como posso decidir o modelo mais apropriado para a pesquisa? Além das patentes que são uma variável de contagem (talvez uma contagem de Poisson), tenho variáveis ​​explicativas, como retorno de ativos, orçamento de pesquisa e desenvolvimento, parceiro repetido (% não variável binária), tamanho da empresa (funcionários) e muito mais. Devo fazer uma regressão linear ou Poisson?

O mais importante é a lógica por trás do modelo. Sua variável "número de patentes por ano" é uma variável de contagem, portanto, a regressão de Poisson é indicada. Esse é um GLM (modelo linear generalizado) com (normalmente) a função de link de log, enquanto a regressão linear usual é um GLM Gaussiano com link de identidade. Aqui, é realmente a função de link de log que é mais importante, mais importante que a distribuição de erros (Poisson ou Gaussian).

A variável "Patentes" é uma variável extensa : consulte propriedades intensivas e extensas . Para variáveis intensivas , como temperatura, modelos lineares (com link de identidade) geralmente são apropriados. Mas com uma variável extensa é diferente. Pense que uma de suas empresas farmacêuticas se dividiu em duas empresas diferentes. Então as patentes tiveram que ser divididas entre as duas novas empresas. O que acontece com as covariáveis, os na sua regressão? Variáveis ​​como número de funcionários e orçamento de RD também teriam que ser divididas.$x$

Em termos gerais, nesse contexto, uma variável intensiva é uma variável independente do tamanho da empresa, enquanto uma variável extensa depende (normalmente, linearmente) do tamanho da empresa. Portanto, de certa forma, se tivermos muitas variáveis ​​extensas diferentes na equação de regressão, estaremos medindo efeitos de tamanho repetidamente . Isso parece redundante; portanto, devemos tentar, quando possível, expressar variáveis ​​de forma intensiva , como orçamento de DR por funcionário (ou como porcentagem do orçamento total), da mesma forma receita, etc. Um número variável de funcionários terá que ser deixado como extenso. Veja a resposta da @ onestop para Lidando com regressores correlacionados para outra discussão sobre essa questão de variável extensa / intensiva.

Vejamos isso algebricamente: são patentes, orçamento (por funcionário), funcionários da empresa original, enquanto e são as variáveis ​​correspondentes após uma divisão. Suponha, como acima, que é a única covariável extensa (com$P, B, E$$P_1, B_1, E_1$$P_2, B_2, E_2$$E$$P$ , é claro, também extensa).

Então, antes da divisão, temos o modelo, o link de identidade, com a parte aleatória deixada de fora: Deixe as frações da divisão serem α , 1 - α, portanto, para a empresa 1 após a divisão, obtemos α

$$P= \mu+\beta_1 E + \beta_2 B$$ $\alpha, 1-\alpha$ $$\begin{align} \alpha P &= \alpha \mu +\alpha\beta_1 E +\alpha\beta_2 B \\[5pt] P_1 &= \alpha\mu + \beta_1 E_1 + \alpha\beta_2 B_1 \end{align}$$ $P_1=\alpha P, E_1=\alpha E$$B_1=B$$E$sendo independente do tamanho da empresa, tamanho influenciando todos os outros parâmetros. Isso dificulta a interpretação dos resultados, especialmente se, em seus dados, você possui empresas de tamanhos variados, como interpretará esses coeficientes? A comparação com outros estudos com base em outros dados etc. torna-se extremamente complicada.

Agora, vamos ver se o uso de uma função de link de log pode ajudar. Novamente, escrevemos modelos idealizados sem termos de perturbação. As variáveis ​​são como acima.

$$P = \exp\left(\mu+\beta_1 E + \beta_2 B\right)$$ $$\begin{align} P_1 &= \exp(\log\alpha) \exp\left(\mu+\beta_1 E + \beta_2 B\right) \\[5pt] P_1 &= \exp\left(\log\alpha+\mu+\beta_1 E +\beta_2 B_1 \right) \end{align}$$ $E$

$$P = \exp\left(\mu+\beta_1 \log E + \beta_2 B\right)$$ $$\begin{align} P_1 &= \exp(\log\alpha) \exp\left(\hspace{9.5mm}\mu+\beta_1 \log E + \beta_2 B\right) \\[5pt] P_1 &= \exp\left(\log\alpha+\hspace{6mm}\hspace{9.5mm}\mu+\beta_1 \log E +\beta_2 B_1 \right) \\[5pt] P_1 &= \exp\left((1-\beta)\log\alpha+\mu+\beta_1 \log E_1 +\beta_2 B_1\right) \\[5pt] P_1 &= \exp\left(\hspace{31mm}\mu'+\beta_1 \log E_1 +\beta_2 B_1\right) \end{align}$$ $\mu'$

Isso facilita muito a interpretação dos resultados e também compara estudos com outros dados, tendências com o tempo etc. Você não pode obter este formulário com parâmetros com interpretações independentes do tamanho com um link de identidade.

Conclusão: Use um GLM com função de link de log, talvez uma regressão de Poisson, ou binomial negativo, ou ... A função de link é uma ordem de magnitude mais importante!

Em resumo, ao construir um modelo de regressão para uma variável de resposta que é extensa , como uma variável de contagem.

1. Tente expressar covariáveis ​​de forma intensiva.

2. Covariáveis ​​que devem ser deixadas como extensas: registre-as (a álgebra acima depende de haver no máximo uma covariável extensa).

3. Use uma função de link de log.

Em seguida, outros critérios, como os baseados no ajuste, podem ser usados ​​para decisões secundárias, como a distribuição do termo de perturbação.