Qual é o mínimo de

Todas as distribuições em um intervalo limitado $[0,1]$ satisfazem:

$$\sigma^2 \le \mu (1-\mu)$$

onde $\mu$ é a média e $\sigma^2$ a variância.

Agora, suponha que a distribuição seja unimodal, no sentido de ter no máximo um máximo local. Qual é o valor mínimo que a seguinte proporção pode ter:

$$\frac{\mu (1-\mu)}{\sigma^2}?$$

Não existe um mínimo. No entanto, um infimum faz. Resulta do fato de que

O supremum da variância de distribuição unimodal definidos em Tendo significativo μ é μ ( 2 - 3 μ ) / 3 ( 0 ≤ μ ≤ 1 / 2 ) ou ( 1 - μ ) ( 3 μ - 1 ) / 3 ( 1 / 2 ≤ u ≤ 1 ).$[0,1]$$\mu$$\mu(2 - 3\mu)/3$$0 \le \mu \le 1/2$$(1-\mu)(3\mu-1)/3$$1/2\le \mu \le 1$

O supremo é realmente alcançado por uma distribuição que - embora não tenha uma função de densidade - ainda pode (em um sentido generalizado) ser considerada "unimodal"; que terão um átomo em (quando μ < 1 / 2 ) ou um átomo em 1 (quando μ > 1 / 2 ), mas de outra forma ser uniforme.$0$$\mu \lt 1/2$$1$$\mu \gt 1/2$

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Vou esboçar o argumento. A pergunta nos pede para otimizar uma função funcional linear

$$\mathcal{L_{x^2}}: D[0,1] \to \mathbb{R}$$

sujeito a várias restrições de igualdade e desigualdade, onde é o conjunto de medidas (assinadas) no intervalo [ 0 , 1 ] . Para F diferenciáveis : [ 0 , 1 ] → R e g : [ 0 $D[0,1]$$[0,1]$$F:[0,1]\to\mathbb{R}$ qualquer função contínua, definir$g:[0,1]\to\mathbb{R}$

$$\mathcal{L}_g[F] = \int_0^1 g(x) dF(x),$$

e estenda a todos$\mathcal{L}$ por continuidade.$D[0,1]$

As restrições de igualdade são

$$\mathcal{L}_1[F] = 1$$

e

$$\mathcal{L}_x[F] = \mu.$$

As restrições de desigualdade são que

$$f(x) \ge 0$$

e existe (um "modo") tal que para todos os 0 ≤ x ≤ y ≤ λ e todos os λ ≤ y ≤ x ≤ 1 ,$\lambda \in [0,1]$$0\le x \le y \le \lambda$$\lambda \le y \le x \le 1$

$$f(x) \le f(y).$$

$\mathcal{X}\subset D[0,1]$$\mathcal{L}_{x^2}$

$\mathcal{L}_g$$\mathcal{X}$$F$

$f$$0\lt \lambda \lt 1$$[0,\lambda)$$a$$(\lambda, 1]$$b$

$$a = \frac{1+\lambda-2\mu}{\lambda},\ b = \frac{2\mu-\lambda}{1-\lambda}.$$

$\mu$$\lambda$$f_{(\lambda,\mu)}$$\mu \gt 1/2$

$\mathcal{L}_{x^2}$$f_{(\lambda, \mu)}$$F_{(\lambda, \mu)}$

$$\mathcal{L}_{x^2}[f_{(\lambda, \mu)}] = \frac{1}{3}\left(2\mu + (2\mu - 1)\lambda\right).$$

$\lambda$$0$$\mu \lt 1/2$$1$$\mu \gt 1/2$$\mu = 1/2$$\mu=1/2$$f_{(\lambda, \mu)}$$F = \lim_{\lambda\to 0} F_{(\lambda, \mu)}$$F = \lim_{\lambda\to 1} F_{(\lambda, \mu)}$$0$$1$

$F$$\mu \approx 2/5$

Independentemente, o valor ideal é

$$\sigma^2_\mu = \sup_\lambda \mathcal{L}_{x^2}[f_{(\lambda, \mu)}] = \frac{1}{3}\mu(2 - 3\mu).$$

$\mu(1-\mu)/\sigma^2$$0\le \mu \lt 1/2$

$$\mu(1-\mu)/\sigma^2_\mu = \frac{3-3\mu}{2-3\mu},$$

$1/2\lt \mu \le 1$$\mu$$1-\mu$ ).

$\mu(1-\mu)/\sigma^2_\mu$$\mu$