Permite onde e são independentes .
Qual é a probabilidade de obter uma amostra em que existem pelo menos dois valores consecutivos e tais que ?
probability
markov-chain
will198
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Respostas:
Execute uma cadeia de Markov.
Seja um "flip" (no índice ) o evento em que e tenham sinais opostos e ambos excedam em tamanho. À medida que examinamos qualquer realização de procurando flips, podemos explorar a simetria da distribuição normal padrão para descrever o processo com apenas quatro estados:X i - 1 X i 1,5 ( X i )i Xi−1 Xi 1.5 (Xi)
O início , antes de ser observado.X1
Zero , onde .−1.5≤Xi−1≤1.5
Um , onde .|Xi−1|>1.5
Invertida , onde ocorre uma inversão em .i
Iniciar transições para o estado (misto)
(correspondendo às chances de estar nos estados ( Zero , Um , Virado )) em que Como o Start nunca é visto novamente, não vamos mais nos rastrear.
Zero transita para Um com probabilidade (quando ) e permanece em Zero .| X i | > 1,52p |Xi|>1.5
Um transições para Flipped com probabilidade : Isso ocorre quando e tem o sinal oposto de . Também transita de volta para Um com probabilidade quando e tem o mesmo sinal que . Caso contrário, ele faz a transição para Zero .| X i | > 1,5 X i X i - 1 p | X i | > 1,5 X i X i - 1p |Xi|>1.5 Xi Xi−1 p |Xi|>1.5 Xi Xi−1
Inverter é um estado absorvente: uma vez lá, nada muda, independentemente do valor de .Xi
Portanto, a matriz de transição (ignorando o início transitório ) para ( Zero , Um , Invertido ) é, portanto,
Depois de sair do estado inicial (e entrar no estado misto ), serão feitas transições na varredura. A probabilidade desejada é, portanto, a terceira entrada (correspondente a Flipped ) em20 - 1 μ ⋅ P 20 - 1 ≈ 0,149045.μ 20−1
Detalhes computacionais
Não precisamos fazer multiplicações de matrizes para obter . Em vez disso, depois de diagonalizarP 1918 P19
a resposta para qualquer expoente (mesmo os enormes) pode ser calculada através de apenas uma multiplicação de matrizes, comon
com
e
Uma simulação de um milhão de iterações (usando
R
) suporta esse resultado. Sua saída,estima a resposta como com um intervalo de confiança que inclui .0.1488 0,149045[0.1477,0.1499] 0.149045
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