Probabilidade de um par consecutivo de valores

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Permite onde e são independentes .X=(x1,x2,...x20)xiN(0,1)xi,xjij

Qual é a probabilidade de obter uma amostra em que existem pelo menos dois valores consecutivos e tais que ?Xxixi+1{|xi|>1.5|xi+1|>1.5xixi+1<0

will198
fonte
| 1.5 | = 1,5 > 1,5 < 0 00 ? Ou há um erro de digitação na pergunta? A probabilidade de dois números serem e seu produto ser é . |1.5|=1.5>1.5<00
Dmitry Rubanovich
comQuero dizer que ou e com quero dizer que um valor é> 0 e o outro é < 0 Por exemplo e encaixam nas duas condições. xi,xi+1>|1.5|xi,xi+1>1.5xi,xi+1<1.5xixi+1<0xi=1.8xi+1=2
will198
A primeira condição deve ser que e a segunda condição é quex ix i + 1 < 0|xi|,|xi+1|<1.5xixi+1<0
will198
Então é um erro de digitação. Deveria dizer . |xi|,|xi+1|>1.5
Dmitry Rubanovich
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Cada uma das suas 20 variáveis ​​tem uma chance de cerca de 0,0668 ser superior a 1,5 e a mesma chance de estar abaixo de -1,5. Isso reduz seu problema a uma pergunta sobre variáveis ​​discretas (com 3 valores) que podem ser resolvidas com a regra da cadeia. Deve ser possível programar uma função para isso, com o seu limite (1,5) e o número de variáveis ​​consecutivas (20) como entrada. Você tem noções de R, SAS ou js?
Dirk Horsten

Respostas:

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Execute uma cadeia de Markov.

Seja um "flip" (no índice ) o evento em que e tenham sinais opostos e ambos excedam em tamanho. À medida que examinamos qualquer realização de procurando flips, podemos explorar a simetria da distribuição normal padrão para descrever o processo com apenas quatro estados:X i - 1 X i 1,5 ( X i )iXi1Xi1.5(Xi)

  • O início , antes de ser observado.X1

  • Zero , onde .1.5Xi11.5

  • Um , onde .|Xi1|>1.5

  • Invertida , onde ocorre uma inversão em .i

Iniciar transições para o estado (misto)

μ=(12p,2p,0)

(correspondendo às chances de estar nos estados ( Zero , Um , Virado )) em que Como o Start nunca é visto novamente, não vamos mais nos rastrear.

p=Pr(X1<1.5)=Pr(X1>1.5)0.0668072.

Zero transita para Um com probabilidade (quando ) e permanece em Zero .| X i | > 1,52p|Xi|>1.5

Um transições para Flipped com probabilidade : Isso ocorre quando e tem o sinal oposto de . Também transita de volta para Um com probabilidade quando e tem o mesmo sinal que . Caso contrário, ele faz a transição para Zero .| X i | > 1,5 X i X i - 1 p | X i | > 1,5 X i X i - 1p|Xi|>1.5XiXi1p|Xi|>1.5XiXi1

Inverter é um estado absorvente: uma vez lá, nada muda, independentemente do valor de .Xi

Portanto, a matriz de transição (ignorando o início transitório ) para ( Zero , Um , Invertido ) é, portanto,

P=(12p2p012ppp001)

Depois de sair do estado inicial (e entrar no estado misto ), serão feitas transições na varredura. A probabilidade desejada é, portanto, a terceira entrada (correspondente a Flipped ) em20 - 1 μ P 20 - 10,149045.μ201

μP2010.149045.

Detalhes computacionais

Não precisamos fazer multiplicações de matrizes para obter . Em vez disso, depois de diagonalizarP 1918P19

P=Q1EQ,

a resposta para qualquer expoente (mesmo os enormes) pode ser calculada através de apenas uma multiplicação de matrizes, comon

μPn=(μQ1)EnQ

com

μQ1=(1,4p2+p+1(27p)p+12(27p)p+1,4p2+p+1+(27p)p+12(27p)p+1),

Q=(001(1+p+7p2+2p+1)(3p1+7p2+2p+1)8p21+p+7p2+2p+12p1(1+p7p2+2p+1)(3p17p2+2p+1)8p21+p7p2+2p+12p1)

e

En=(1000(12(1p7p2+2p+1))n000(12(1p+7p2+2p+1))n)

Uma simulação de um milhão de iterações (usando R) suporta esse resultado. Sua saída,

     Mean       LCL       UCL 
0.1488040 0.1477363 0.1498717

estima a resposta como com um intervalo de confiança que inclui .0.14880,149045[0.1477,0.1499]0.149045

n <- 20                                         # Length of the sequence
n.iter <- 1e6                                   # Length of the simulation
set.seed(17)                                    # Start at a reproducible point
x <- rnorm(n.iter*n)                            # The X_i
y <- matrix(sign(x) * (abs(x) > 3/2), n, n.iter)
flips <- colSums(y[-1, ] * y[-n, ] == -1)       # Flip indicators
x.bar <- mean(flips >= 1)                       # Mean no. of flipped sequences
s <- sqrt(x.bar * (1-x.bar) / n.iter)           # Standard error of the mean
(c(Mean=x.bar, x.bar + c(LCL=-3,UCL=3) * s))    # The results
whuber
fonte
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Para os curiosos, a técnica que Whuber explorou para obter os expoentes da matriz de transição às vezes é chamada de "Diagonalização" nos livros de álgebra linear elementar.
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