Compreendendo a fórmula de diferenciação fracionária

Eu tenho uma série temporal e gostaria de modelá-la como um processo ARFIMA (também conhecido como FARIMA). Se estiver integrado na ordem (fracionária) , eu gostaria de diferenciá-la fracionariamente para torná-la estacionária.$y_t$$y_t$$d$

Pergunta : a fórmula a seguir está definindo a diferença fracionária correta?

$\Delta^d y_t := y_t - d y_{t-1} + \frac{d(d-1)}{2!} y_{t-2} - \frac{d(d-1)(d-2)}{3!} y_{t-3} + ... +(-1)^{k+1} \frac{d(d-1) \cdot ... \cdot (d-k)}{k!} y_{t-k} + ...$

(Aqui indica diferenciação fracionária da ordem .)$\Delta^d$$d$

Baseei a fórmula neste artigo da Wikipedia no ARFIMA , capítulo ARFIMA ( ), mas não tenho certeza se o obtive corretamente.$0,d,0$

Sim, parece estar correto. O filtro fracionário é definido pela expansão binomial:

$\Delta^{d}=\left(1-L\right)^{d}=1-dL+\frac{d\left(d-1\right)}{2!}L^{2}-\frac{d\left(d-1\right)\left(d-2\right)}{3!}L^{3}+\cdots$

Observe que é o operador lag e que esse filtro não pode ser simplificado quando . Agora considere o processo:$L$$0<d<1$

$\Delta^{d}X_{t}=\left(1-L\right)^{d}X_{t}=\varepsilon_{t}$

Em expansão, obtemos:

$\Delta^{d}X_{t}=\left(1-L\right)^{d}X_{t}=X_{t}-dLX_{t}+\frac{d\left(d-1\right)}{2!}L^{2}X_{t}-\frac{d\left(d-1\right)\left(d-2\right)}{3!}L^{3}X_{t}+\cdots=\varepsilon_{t}$

que pode ser escrito como:

$X_{t}=dX_{t-1}-\frac{d\left(d-1\right)}{2!}X_{t-2}+\frac{d\left(d-1\right)\left(d-2\right)}{3!}X_{t-3}-\cdots+\varepsilon_{t}$

Veja Dinâmica dos preços dos ativos, volatilidade e previsão por Stephen J. Taylor (p. 243 na edição de 2007) ou Time Series: Theory and Methods por Brockwell e Davis para referências adicionais.