Compreendendo a fórmula de diferenciação fracionária

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Eu tenho uma série temporal e gostaria de modelá-la como um processo ARFIMA (também conhecido como FARIMA). Se estiver integrado na ordem (fracionária) , eu gostaria de diferenciá-la fracionariamente para torná-la estacionária.ytytd

Pergunta : a fórmula a seguir está definindo a diferença fracionária correta?

Δdyt:=ytdyt1+d(d1)2!yt2d(d1)(d2)3!yt3+...+(1)k+1d(d1)...(dk)k!ytk+...

(Aqui indica diferenciação fracionária da ordem .)Δdd

Baseei a fórmula neste artigo da Wikipedia no ARFIMA , capítulo ARFIMA ( ), mas não tenho certeza se o obtive corretamente.0,d,0

Richard Hardy
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Respostas:

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Sim, parece estar correto. O filtro fracionário é definido pela expansão binomial:

Δd=(1L)d=1dL+d(d1)2!L2d(d1)(d2)3!L3+

Observe que é o operador lag e que esse filtro não pode ser simplificado quando . Agora considere o processo:L0<d<1

ΔdXt=(1L)dXt=εt

Em expansão, obtemos:

ΔdXt=(1L)dXt=XtdLXt+d(d1)2!L2Xtd(d1)(d2)3!L3Xt+=εt

que pode ser escrito como:

Xt=dXt1d(d1)2!Xt2+d(d1)(d2)3!Xt3+εt

Veja Dinâmica dos preços dos ativos, volatilidade e previsão por Stephen J. Taylor (p. 243 na edição de 2007) ou Time Series: Theory and Methods por Brockwell e Davis para referências adicionais.

Plissken
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Meu problema foi passar da definição geral do filtro (como você tem) para aplicar o filtro em um específico . Sei que deve ser óbvio, mas você poderia incluir uma etapa mostrando como passar da sua fórmula para a minha? yt
Richard Hardy
Veja minha resposta editada.
Plissken