Combinação linear de dois não normais aleatórios que ainda são membros da mesma família

É sabido que uma combinação linear de 2 variáveis ​​normais aleatórias também é uma variável normal aleatória. Existem famílias de distribuição não normais comuns (por exemplo, Weibull) que também compartilham essa propriedade? Parece haver muitos contra-exemplos. Por exemplo, uma combinação linear de uniformes não é tipicamente uniforme. Em particular, existem famílias de distribuição não normais em que as seguintes situações são verdadeiras:

1. Uma combinação linear de duas variáveis ​​aleatórias dessa família é equivalente a alguma distribuição nessa família.
2. Os parâmetros resultantes podem ser identificados como uma função dos parâmetros originais e das constantes na combinação linear.

Estou especialmente interessado nesta combinação linear:

$Y = X_1 \cdot w + X_2 \cdot \sqrt{(1-w^2)}$

onde e são amostrados de alguma família não normal, com os parâmetros e , e vem da mesma família não normal com o parâmetro .$X_1$$X_2$$\theta_1$$\theta_2$$Y$$\theta_Y = f(\theta_1, \theta_2, w)$

Estou descrevendo uma família de distribuição com 1 parâmetro por simplicidade, mas estou aberto a famílias de distribuição com vários parâmetros.

Além disso, estou procurando exemplos onde há muito espaço de parâmetro em e para trabalhar com propósitos de simulação. Se você puder encontrar apenas um exemplo que funcione para alguns e muito específicos , isso seria menos útil.θ 2 θ 1 θ $\theta_1$$\theta_2$$\theta_1$$\theta_2$

É sabido que uma combinação linear de 2 variáveis ​​normais aleatórias também é uma variável normal aleatória. Existem famílias de distribuição não normais comuns (por exemplo, Weibull) que também compartilham essa propriedade?

A distribuição normal satisfaz uma boa identidade de convolução: $X_1\sim N\left[\mu _1,\sigma _1^2\right],X_2\sim N\left[\mu _2,\sigma _2^2\right]\Longrightarrow X_1+X_2\sim N\left[\mu _1+\mu _2,\sigma _1^2+\sigma _2^2\right]$. Se você está se referindo ao teorema do limite central, então, por exemplo, essas distribuições gama com o mesmo coeficiente de forma compartilhariam essa propriedade e convolveriam como distribuições gama. Consulte uma nota de advertência sobre a invocação do teorema do limite central . Em geral, no entanto, com coeficientes de forma desiguais, as distribuições gama "adicionariam" por uma convolução que não seria uma distribuição gama, mas sim uma função gama multiplicando uma função hipergeométrica do primeiro tipo, conforme encontrado na Eq. (2) de convolução de duas distribuições gama . A outra definição de adição, que está formando uma distribuição mista de processos não relacionados, não exibirá necessariamente nenhum limite central, por exemplo, se os meios forem diferentes.

Provavelmente existem outros exemplos, ainda não fiz uma pesquisa exaustiva. O fechamento para a convolução não parece ser muito buscado. Para combinação linear, o produto de Pearson VII com um Pearson VII é outro Pearson VII .

É sabido que uma combinação linear de 2 variáveis ​​normais aleatórias também é uma variável normal aleatória. Existem famílias de distribuição não normais comuns (por exemplo, Weibull) que também compartilham essa propriedade?

$\mathscr{P}$$\mathcal{P} \in \mathscr{P}$

$d=0$

As distribuições Levy-estáveis ​​podem ser consideradas uma família de distribuições por si só e, nesse sentido, é a única família de distribuições com essa propriedade de estabilidade, uma vez que (por definição) abrange todas as distribuições com essa propriedade. A distribuição normal se enquadra na classe de distribuições Levy-estáveis, assim como a distribuição Cauchy , a distribuição Landau e a distribuição Holtsmark .