Qual é o significado intuitivo por trás de uma variável aleatória definida como uma “rede”?

Na teoria das probabilidades, uma variável aleatória não negativa é chamada de treliça se existir tal que .d ≥ 0 Σ ∞ n = 0 P ( X = N d ) = $X$$d \geq 0$$\sum_{n=0}^{\infty}P(X=nd) = 1$

Existe uma interpretação geométrica para o motivo pelo qual essa definição é chamada de treliça?

Isso significa que é discreto, e há algum tipo de espaçamento regular a sua distribuição; isto é, a massa de probabilidade está concentrada em um conjunto finito / contável de pontos .$X$${d, 2d, 3d, \dots}$

Observe que nem todas as distribuições discretas são reticuladas. Por exemplo, se puder assumir os valores , isso não é uma rede, pois não existe tal que todos os valores possam ser expressos como múltiplos de .{ 1 , e , π , 5 } d $X$$\{1, e, \pi, 5\}$$d$$d$

Essa terminologia conecta a variável aleatória aos conceitos da teoria de grupos usados ​​para estudar simetrias geométricas. Portanto, você pode gostar de ver a conexão mais geral, que iluminará o significado e as possíveis aplicações de variáveis ​​aleatórias em rede.

fundo

Em matemática, um "retículo" é um subgrupo discreto de um grupo topológico G ( geralmente assumido como tendo um covolume finito ).$\mathcal{L}$$G$

• "Discreto" significa que em torno de cada elemento é um conjunto aberto O g ⊂ L contendo apenas g em si: O g ∪ L = { g } . Seria justo pensar em L como sendo um arranjo "padronizada" ou "regular" de pontos em G .$g\in\mathcal{L}$$\mathcal{O}_g\subset\mathcal{L}$$g$$\mathcal{O}_g\cup\mathcal{L}=\{g\}$$\mathcal{L}$$G$

• O grupo age em L "movendo pontos em L ao redor em G ", formando uma órbita a partir de cada um. Um domínio fundamental dessa ação consiste em um único ponto em cada órbita. G pode ser equipado com uma medida - a medida de Haar - usada para medir os tamanhos ou volumes dos subconjuntos mensuráveis ​​de G de Borel . Um domínio fundamental mensurável pode ser encontrado. Seu volume é o covolume de L . Quando é finito, podemos pensar em G como sendo revestido por esse domínio fundamental e os elementos de L como movendo os azulejos.$G$$\mathcal{L}$$\mathcal{L}$$G$$G$$G$$\mathcal{L}$$G$$\mathcal{L}$

Qualquer par dessas figuras de cavalos-marinhos - onde uma está do lado direito para cima e a outra de cabeça para baixo - pode ser um domínio fundamental para a rede visualmente evidente no plano euclidiano. MC Escher, cavalo-marinho (n ° 11) .

Uma variável aleatória "treliça" é suportada em uma treliça em ( R n , + ) . $X$$(\mathbb{R}^n, {+})$ Isso significa que toda a sua probabilidade está contida no fechamento da rede. Como uma rede é discreta, ela é fechada, de modo que os valores de estão quase certamente na rede: Pr ( X ∈ L ) = 1 .$X$$\Pr(X\in\mathcal{L})=1$

Inscrição

O grupo implicado pela pergunta é o grupo aditivo de números reais, , com sua topologia usual (euclidiana). Como um subgrupo, uma rede L deve incluir 0 . Isso por si só não será suficiente, porque o quociente R / { 0 } possui volume infinito ("volume" = "comprimento" neste caso 1D). Assim, existe, pelo menos, um elemento diferente de zero g ∈ G . Todos os poderes desse elemento também devem estar no subgrupo. Uma vez que a operação é disso , o n ° de energia de g é n $(\mathbb{R}, {+})$$\mathcal{L}$$0$$\mathbb{R}/\{0\}$$g\in\mathcal{L}$$n^\text{th}$$g$$ng$. Portanto, contém todos os múltiplos integrais de g (incluindo os negativos).$\mathcal{L}$$g$

Se existem dois elementos que não são potências um do outro, é fácil mostrar (usando um pouquinho da teoria dos números) que (1) todas as combinações n g + m h , para n , m ∈ Z , estão em correspondência individual com os pares ordenados ( m , n ) e (2) essas combinações são densas em R , o que significaria que L não é discreto. A partir disso, é fácil concluir que todos os elementos em$h,g\in\mathcal{L}$$ng+mh$$n,m\in\mathbb{Z}$$(m,n)$$\mathbb{R}$$\mathcal{L}$$\mathcal{L}$são potências de um único número . $g$ Este é o gerador de .L$\mathcal{L}$

(Um argumento análogo mostra que as treliças em devem ter geradores. Os geradores da aquarela de Escher podem ser, digamos, uma tradução de duas unidades abaixo e uma tradução uma unidade abaixo e uma unidade à direita, aproximadamente.)$(\mathbb{R}^n, {+})$$n$

Consequentemente, correspondendo a qualquer variável aleatória rede com valor real em deve ser um gerador , de onde( R , + ) g ≠ $X$$(\mathbb{R}, {+})$$g\ne 0$

$$\sum_{n=0}^\infty \Pr(X=ng) \le \sum_{n=-\infty}^\infty \Pr(X=ng) = \Pr(X\in\mathcal{L}) = 1.$$

A definição na questão pode, portanto, ser entendida como a de uma variável de rede não negativa . Também podemos querer estipular que , caso contrário, é suportado no subgrupo que, com volume infinito, não é uma rede.X { 0 $\Pr(X=0) \lt 1$$X$$\{0\}$

Generalização

Os números reais positivos formam um grupo multiplicativo. Uma rede neste grupo terá o formato para alguns . (O volume desta rede é .) Portanto, qualquer variável aleatória para a qualL = { g $(\mathbb{R}^{+}, {\times})$$\mathcal{L} = \{g^n\,|\,n\in\mathbb{Z}\}$$g \gt 0$$|\log(g)|$$Y$

$$\sum_{n=-\infty}^\infty \Pr(Y=g^n) = 1$$

pode ser considerada uma variável de rede neste grupo. Evidentemente, seria uma variável de treliça em .$\log(Y)$$(\mathbb{R}, {+})$