O valor esperado da variável aleatória nos lançamentos de uma moeda

Me deparei com um problema interessante hoje. Você recebe uma moeda e x dinheiro, você dobra o dinheiro se tiver cara e perder a metade se coroa em qualquer sorteio.

1. Qual é o valor esperado do seu dinheiro em n tentativas
2. Qual é a probabilidade de obter mais do que o valor esperado em (1)

Foi assim que me aproximei. A probabilidade de cara e coroa é a mesma (1/2). Valor esperado após o primeiro sorteio = Portanto, o valor esperado é após o primeiro sorteio. Da mesma forma, repetindo a expectativa do segundo sorteio em 5x / 4, Valor esperado após o segundo sorteio =$1/2(2*x) + 1/2(1/2*x) = 5x/4$$5x/4$$1/2(2*5x/4) + 1/2(1/2*5x/4) = 25x/16$

Então você obtém uma sequência de valores esperados: , , , ...25 x / 16 125 x /$5x/4$$25x/16$$125x/64$

Após tentativas, seu valor esperado deve ser .( 5 n / 4 n ) ∗ $n$$(5^n/4^n) * x$

Se for grande o suficiente, seu valor esperado deve se aproximar da média da distribuição. Portanto, a probabilidade de que o valor seja maior que o valor esperado deve ser . Eu não tenho certeza sobre este.$n$$0.5$

Se n for grande o suficiente, seu valor esperado deve se aproximar da média da distribuição.

Sim esta correto.

Portanto, a probabilidade de que o valor seja maior que o valor esperado deve ser 0,5.

Isso só seria correto se a distribuição for simétrica - o que no seu jogo não é o caso. Você pode ver isso facilmente se pensar sobre qual deve ser o valor médio dos seus ganhos após jogadas.$n$

Você pode pensar no seu problema como uma caminhada aleatória . Uma caminhada aleatória unidimensional básica é uma caminhada na linha real inteira, onde em cada ponto movemos com probabilidade . É exatamente isso que você tem se ignorarmos a duplicação / metade do dinheiro e definirmos . Tudo o que precisamos fazer é remapear seu sistema de coordenadas para este exemplo. Seja seu pote inicial. Em seguida, remapeamos da seguinte maneira:p p = 0,5 $\pm 1$$p$$p=0.5$$x$

x*2^{-2} = -2
x*2^{-1} = -1 
  x = 0
 x*2 = 1  

ie . Deixe denotar quanto dinheiro ganhamos com o jogo após turnos;S n$2^k x=k$$S_n$$n$

Quando não é múltiplo de 2, . Para entender isso, suponha que começamos com 10 libras. Após turnos, os únicos valores possíveis são £ 5 ou £ 20, ou seja, ou .$(n+k)$$Pr(S_n)=0$$n=1$$k=-1$$k=1$

O resultado acima é um resultado padrão dos passeios aleatórios. Passeios aleatórios do Google para mais informações. Também a partir da teoria da caminhada aleatória, podemos calcular o retorno médio para , que não é o mesmo que o valor esperado.$x$

Nota: Presumi que você sempre pode metade do seu dinheiro. Por exemplo, 1 pence, 0,5 pence, 0,25 pence são permitidos. Se você remover essa suposição, terá uma caminhada aleatória com uma parede absorvente.

Para completar

Aqui está uma simulação rápida no R do seu processo:

#Simulate 10 throws with a starting amount of x=money=10
#n=10
simulate = function(){
  #money won/lost in a single game
  money = 10
  for(i in 1:10){
    if(runif(1) < 0.5)
      money = money/2
    else
      money = 2*money
  }
  return(money)
}

#The Money vector keeps track of all the games
#N is the number of games we play
N = 1000
Money = numeric(N)
for(i in 1:N)
  Money[i]= simulate()

mean(Money);median(Money)
#Probabilities
#Simulated
table(Money)/1000
#Exact
2^{-10}*choose(10,10/2)

#Plot the simulations
plot(Money)

Seja a riqueza após jogadas deste jogo, onde assumimos A tentação aqui é pegar e estudar como uma caminhada aleatória simétrica, com inovações de tamanho . Acontece que isso será bom para a segunda pergunta, mas não para a primeira. Um pouco de trabalho mostrará que, assintoticamente, temos . Com isso, você não pode concluir que é log assintoticamente normalmente distribuído com$S_k$$k$$S_0 = 1.$$X_k = \log{S_k}$$X_k$$\pm \log{2}$$X_k \sim \mathcal{N}(0,k(\log{2})^2)$$S_k$$\mu = 0, \sigma = \log{2}\sqrt{k}.$A operação de log não é comutada com o limite. Se isso acontecesse, você obteria o valor esperado de como , o que está quase correto, mas não completamente.$S_k$$\exp{(k \log{2}\log{2}/2)}$

Entretanto, esse método é adequado para encontrar quantis de e outras questões de probabilidade, como a pergunta (2). TemosA quantidade no lado esquerdo da última desigualdade é, assintoticamente, um padrão normal e, portanto, a probabilidade de que exceda sua média se aproxima de que é o CDF do padrão normal. Isso se aproxima de zero rapidamente.$S_k$$S_k \ge (\frac{5}{4})^k \Leftrightarrow X_k \ge k \log{(5/4)} \Leftrightarrow X_k / \sqrt{k}\log{2} \ge \sqrt{k}\log{(5/4})/\log{2}.$$S_k$$1 - \Phi{(\sqrt{k}\log{(5/4)}/\log{2})},$$\Phi$

Código Matlab para verificar isso:

top_k = 512;
nsamps = 8192;
innovs = log(2) * cumsum(sign(randn(top_k,nsamps)),1);
s_k = exp(innovs);
k_vals = (1:top_k)';
mean_v = (5/4) .^ k_vals;
exceed = bsxfun(@ge,s_k,mean_v);
prob_g = mean(double(exceed),2);

%theoretical value
%(can you believe matlab doesn't come with normal cdf function!?)
nrmcdf = @(x)((1 + erf(x / sqrt(2)))/2);
p_thry = 1 - nrmcdf(sqrt(k_vals) * log(5/4) / log(2));

loglog(k_vals,prob_g,'b-',k_vals,p_thry,'r-');
legend('empirical probability','theoretical probability');

o gráfico produzido:

Você está certo sobre a expectativa.

Na verdade, você também tem a resposta certa para a probabilidade de recuperar mais do que sua aposta original, embora não seja a prova certa. Considere, em vez da quantidade bruta de dinheiro que você tem, seu logaritmo de base 2. Esse é o número de vezes que você duplicou o seu dinheiro, menos o número de vezes que o reduziu pela metade. Esta é a soma de variáveis ​​aleatórias independentes, cada uma igual a ou com probabilidade . A probabilidade que você deseja é a probabilidade de que isso seja positivo. Se é ímpar, então por simetria é exatamente ; se é par (chame-o de ), então é$S_n$$n$$+1$$-1$$1/2$$n$$1/2$$n$$2k$$1/2$menos metade da probabilidade de . Mas , que se aproxima de como .$S_n = 0$$P(S_{2k} = 0) = {2k \choose k}/2^{2k}$$0$$k \to \infty$