Distinguir entre efeitos de curto e longo prazo

Li num artigo a seguinte frase:

O fato de existir uma diferença entre os coeficientes de curto e longo prazo é resultado de nossa especificação, que inclui variáveis ​​endógenas defasadas.

Eles executam uma regressão nas primeiras diferenças e incluem um atraso na variável dependente.
Agora eles argumentam que, se você olhar para uma estimativa (por exemplo, vamos chamar essa estimativa ) a partir da saída, esse é o efeito de curto prazo de na variável dependente. Além disso, eles argumentam que olhar para / (1 - estimativa para o atraso) fornece o efeito de longo prazo de p na variável dependente.p $p$$p$
$p$

O documento pode ser encontrado em: https://www.ecb.europa.eu/pub/pdf/scpwps/ecbwp1328.pdf e sua discussão sobre o efeito de curto / longo prazo na página 20 da nota de rodapé 23.

Eu não entendo exatamente por que você pode diferenciar entre o efeito de curto e longo prazo de na variável dependente. Se alguém pudesse explicar sua idéia mais detalhadamente, seria muito útil.$p$

Suponha que você tenha um modelo mede o efeito instantâneo (ou o efeito a curto prazo ) de em .

Observe que está incluído no modelo. Como afeta , também afeta através da variável dependente defasada e o tamanho desse efeito será .$y_{t-1}$$x_t$$y_t$$x_t$$y_{t+1}$$\beta \gamma x_t$

A história não acaba aqui. O efeito de em será . O efeito de em será . E assim por diante. Se você resumir o efeito instantâneo e todos os efeitos atrasados ​​até o futuro infinito, obterá o efeito cumulativo de em que será (onde você use uma fórmula para a soma infinita de uma série geométrica decadente, consulte Wikipedia ). Isso é chamado de efeito a longo prazo .$x_t$$y_{t+2}$$\beta^2 \gamma x_t$$x_t$$y_{t+3}$$\beta^3 \gamma x_t$$x_t$$y$$\frac{1}{1-\beta}\gamma x_t$

O modelo acima pode ser generalizado para estruturas de atraso mais complexas, mas a ideia permanece a mesma; variáveis ​​dependentes defasadas perpetuam um efeito em um futuro infinito.