Efeitos aleatórios podem ser aplicados apenas a variáveis ​​categóricas?

Essas perguntas podem parecer estúpidas, mas ... é correto que efeitos aleatórios possam ser aplicados apenas a variáveis ​​categóricas (como identificação individual, identificação de população, ...), por exemplo, digamos que é uma variável categórica:$x_i$

~ β x $y_i$$\beta_{x_i}$

~ N o r m ( μ , ô 2$\beta_{x_i}$$Norm(\mu, \delta^2)$

mas, a partir do princípio, o efeito aleatório não pode ser aplicado a variáveis ​​contínuas (como altura, massa ...), digamos :$z_i$

~ α + p ⋅ z $y_i$$\alpha + \beta \cdot z_{i}$

porque então existe apenas um coeficiente que não pode ser restringido? Parece lógico, mas eu me pergunto por que nunca é mencionado na literatura estatística! Obrigado!$\beta$

EDIT: Mas o que se restringir como z i ~ N o r m ( μ , δ 2 ) ? É então efeito aleatório? Mas isso é diferente da restrição que coloquei em β x i - aqui restrinja a variável, enquanto no exemplo anterior restrinjai o coeficiente ! Começa a parecer uma grande bagunça para mim ... Enfim, não faz muito sentido colocar essa restrição, porque z i são valores conhecidos, então talvez essa ideia seja completamente estranha :-)$z_i$$z_i$$Norm(\mu, \delta^2)$$\beta_{x_i}$$z_i$

Esta é uma pergunta boa e muito básica.

A interpretação dos efeitos aleatórios é muito específica do domínio e depende da escolha da modelagem (o modelo estatístico ou ser bayesiano ou frequentista). Para uma discussão muito boa, consulte a página 245, Gelman e Hill (2007) . Para um bayesiano, tudo é aleatório (mesmo que os parâmetros possam ter um verdadeiro valor fixo, eles são modelados como aleatórios), e um frequentista também pode escolher um valor de parâmetro para ser um efeito fixo que teria sido modelado como aleatório (consulte Casella, 2008 , discussão sobre blocos a serem corrigidos ou aleatórios no exemplo 3.2).

Editar (após o comentário)

Os dados são corrigidos depois que você os observa. Se eles são contínuos, devem ser modelados como contínuos. Você pode modelar variáveis ​​categóricas como categóricas e, às vezes, como contínuas (como em uma configuração de variável ordinal). Os parâmetros são desconhecidos e podem ser modelados como fixos ou aleatórios. Os parâmetros relacionam essencialmente a resposta aos preditores. Se você deseja que a inclinação de um preditor individual (ou seu coeficiente em um modelo linear) varie para cada resposta, modele-a como aleatória, caso contrário, modele-a como fixa. Da mesma forma, se você deseja que a interceptação varie em relação aos grupos, eles devem ser modelados como aleatórios; caso contrário, eles devem ser corrigidos.

Sua pergunta já pode ter sido resolvida, mas na verdade está escrita em um livro;

Efeitos aleatórios são variáveis ​​categóricas cujos níveis são vistos como uma amostra de uma população maior, em oposição aos efeitos fixos, cujos níveis são de interesse por si mesmos,

na página 232 de: Alan Grafen e Rosie Hails (2002) "Estatísticas modernas para as ciências da vida", Oxford University Press.

Eu acho que a questão é que há duas coisas envolvidas aqui. Um exemplo típico de efeitos aleatórios pode ser a previsão da média de notas (GPA) de um estudante universitário com base em vários fatores, incluindo sua pontuação média em uma série de testes durante o ensino médio.

A pontuação média é contínua . Você normalmente teria uma interceptação variável, ou interceptação e inclinação, para a pontuação média de cada indivíduo. O indivíduo é obviamente categórico .

Então, quando você diz "aplica-se apenas a variáveis ​​categóricas", é um pouco vago. Digamos que você considere apenas uma interceptação aleatória para a pontuação média. Nesse caso, sua interceptação aleatória para uma quantidade contínua e de fato é provavelmente modelada como algo como uma variável gaussiana com uma média e desvio padrão a serem determinados pelo procedimento. Mas essa interceptação aleatória é determinada em uma população de estudantes em que cada aluno é identificado por uma variável categórica.

Você pode usar uma variável "contínua" em vez da identificação do aluno. Talvez você possa escolher a altura de um aluno. Mas, essencialmente, teria que ser tratado como se fosse categórico. Se suas medidas de altura fossem muito precisas, você terminaria novamente com uma altura única para cada aluno, de modo que não teria conseguido nada diferente. Se suas medidas de altura não fossem muito precisas, você acabaria agrupando vários alunos a cada altura. (Misturando suas pontuações de uma maneira possivelmente mal definida.)

Isso é o oposto das interações. Em uma interação, você está multiplicando duas variáveis ​​e essencialmente tratando as duas como contínuas. Uma variável categórica seria dividida em um conjunto de variáveis ​​dummy 0/1 e o 0 ou 1 seria multiplicado vezes a outra variável na interação.

A conclusão é que um "efeito aleatório" é, em certo sentido, apenas um coeficiente que possui uma distribuição (modelada) e não um valor fixo.