Porque é que o produto dos coeficientes de regressão bivariada do -ON- linha e -ON- linha igual ao quadrado da correlação?

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Há modelo de regressão, onde com e , que tem um coeficiente de correlação de . $Y = a + bX$ $a = 1.6$ $b=0.4$ $r = 0.60302$

Se e são, em seguida, ligado em torno e a equação torna-se onde e , ele também tem uma valor de . $X$ $Y$ $X = c + dY$ $c=0.4545$ $d=0.9091$ $r$ $0.60302$

Espero que alguém possa explicar por que também é . $(d\times b)^{0.5}$ $0.60302$

correlation regression-coefficients Mike
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$b = r \; \text{SD}_y / \text{SD}_x$ e , então . $d = r \; \text{SD}_x / \text{SD}_y$ $b\times d = r^2$

Muitos livros de estatística abordariam isso; Eu gosto de Freedman et al., Statistics . Veja também aqui e este artigo da Wikipedia .

Karl
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Veja Treze maneiras de analisar o coeficiente de correlação - e especialmente as maneiras 3, 4, 5 que mais lhe interessam.

Rodgers, JL e Nicewander, WA (1988). Treze maneiras de analisar o coeficiente de correlação . The American Statistician, 42, 1 , pp. 59-66.

Curioso
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Provavelmente deveria ter sido um comentário. Observe que o link ficou inoperante. Atualizei o link e forneci uma citação completa. Você pode elaborar ou fornecer informações adicionais para que isso ainda seja valioso, mesmo que o link seja desativado novamente?

gung - Restabelece Monica

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O artigo Rodgers & Nicewander está resumido em nosso site em stats.stackexchange.com/q/70969/22228 .

whuber

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$\DeclareMathOperator{\Cov}{Cov}$ $\DeclareMathOperator{\Corr}{Corr}$ $\DeclareMathOperator{\SD}{SD}$ $\DeclareMathOperator{\Var}{Var}$ $\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}$ $\DeclareMathOperator{\nsum}{\sum_{i=1}^{n}}$

Lembre-se de que muitos textos introdutórios definem

S_{x y} = \sum_{Eu = 1}^{n} (x_{Eu} - \bar{x}) (y_{Eu} - \bar{y})

$S_{xy} = \nsum (x_i - \bar x)(y_i - \bar y)$

Em seguida, definindo como temos e, similarmente . $y$ $x$ $S_{xx} = \nsum (x_i - \bar x)^2$ $S_{yy} = \nsum (y_i - \bar y)^2$

As fórmulas para o coeficiente de correlação , a inclinação da regressão on- (seu ) e a inclinação da regressão on- (seu ) são frequentemente dadas como: $r$ $y$ $x$ $b$ $x$ $y$ $d$

\begin{aligned} (1) & r & = \frac{S_{x y}}{\sqrt{S_{x x} S_{y y}}} \\ 2) & {\hat{β}}_{y em x} & = \frac{S_{x y}}{S_{x x}} \\ (3) & {\hat{β}}_{x em y} & = \frac{S_{x y}}{S_{y y}} \end{aligned}

$\begin{align} r &= \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}} \tag{1} \\ \hat \beta_{y\text{ on }x} &= \frac{S_{xy}}{S_{xx}} \tag{2} \\ \hat \beta_{x\text{ on }y} &= \frac{S_{xy}}{S_{yy}} \tag{3} \end{align}$

Então multiplicar e indica claramente o quadrado de : $(2)$ $(3)$ $(1)$

{\hat{β}}_{y em x} \cdot {\hat{β}}_{x em y} = \frac{S_{x y}^{2}}{S_{x x} S_{y y}} = r^{2}

$\hat \beta_{y\text{ on }x} \cdot \hat \beta_{x\text{ on }y} = \frac{S_{xy}^2}{S_{xx}S_{yy}} = r^2$

Alternativamente, os numeradores e denominadores das frações em , e são frequentemente divididos por ou modo que as coisas sejam enquadradas em termos de amostra ou variações e covariâncias estimadas. Por exemplo, de , o coeficiente de correlação estimado é apenas a covariância estimada, dimensionada pelos desvios padrão estimados: $(1)$ $(2)$ $(3)$ $n$ $(n-1)$ $(1)$

\begin{aligned} 4) & r & = \hat{Corr} (X, Y) = \frac{\hat{Cov} (X, Y)}{\hat{SD (X)} \hat{SD (Y)}} \\ (5) & {\hat{β}}_{y em x} & = \frac{\hat{Cov} (X, Y)}{\hat{Var (X)}} \\ (6) & {\hat{β}}_{x em y} & = \frac{\hat{Cov} (X, Y)}{\hat{Var (Y)}} \end{aligned}

$\begin{align} r &= \widehat \Corr(X,Y) = \frac{\widehat \Cov(X,Y)}{\widehat{\SD(X)}\widehat{\SD(Y)}} \tag{4} \\ \hat \beta_{y\text{ on }x} &= \frac{\widehat \Cov(X,Y)}{\widehat{\Var(X)}} \tag{5} \\ \hat \beta_{x\text{ on }y} &= \frac{\widehat \Cov(X,Y)}{\widehat{\Var(Y)}} \tag{6} \end{align}$

Em seguida, descobrimos imediatamente da multiplicação e que $(5)$ $(6)$

{\hat{β}}_{y em x} {\hat{β}}_{x em y} = \frac{\hat{Cov} (X, Y)^{2}}{\hat{Var (X)} \hat{Var (Y)}} = {(\frac{\hat{Cov} (X, Y)}{\hat{SD (X)} \hat{SD (Y)}})}^{2} = r^{2}

$\hat \beta_{y\text{ on }x} \hat \beta_{x\text{ on }y} = \frac{\widehat \Cov(X,Y)^2}{\widehat{\Var(X)}\widehat{\Var(Y)}} = \left( \frac{\widehat \Cov(X,Y)}{\widehat{\SD(X)}\widehat{\SD(Y)}} \right)^2 = r^2$

Em vez disso, poderíamos ter reorganizado para escrever a covariância como uma correlação "ampliada": $(4)$

\begin{matrix} (7) & \hat{Cov} (X, Y) = r \cdot \hat{SD (X)} \hat{SD (Y)} \end{matrix}

$\widehat \Cov(X,Y) = r\cdot \widehat{\SD(X)} \widehat{\SD(Y)} \tag{7}$

$(7)$ $(5)$ $(6)$ $\hat \beta_{y\text{ on }x} = r \frac{\widehat \SD(y)}{\widehat \SD(x)}$ $\hat \beta_{x\text{ on }y} = r \frac{\widehat \SD(x)}{\widehat \SD(y)}$ $r^2$

$r = \sqrt{bd} =\sqrt{\hat \beta_{y\text{ on }x} \hat \beta_{x\text{ on }y}}$

$y$ $x$ $x$ $y$

r = sgn ({\hat{β}}_{y em x}) \sqrt{{\hat{β}}_{y em x} {\hat{β}}_{x em y}}

$r = \sgn(\hat \beta_{y\text{ on }x}) \sqrt{\hat \beta_{y\text{ on }x} \hat \beta_{x\text{ on }y}}$

$\sgn$ $+1$ $-1$

Silverfish
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Você pode achar interessante esta resposta minha, mesmo que não explique explicitamente a pergunta feita aqui.

Dilip Sarwate

Porque é que o produto dos coeficientes de regressão bivariada do -ON- linha e -ON- linha igual ao quadrado da correlação?

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