O que significa "imparcialidade"?

• O que significa dizer que "a variação é um estimador tendencioso".
• O que significa converter uma estimativa tendenciosa em uma estimativa imparcial por meio de uma fórmula simples. O que essa conversão faz exatamente?
• Além disso, qual é o uso prático dessa conversão? Você converte essas pontuações ao usar certo tipo de estatística?

Você pode encontrar tudo aqui . No entanto, aqui está uma resposta breve.

Seja e σ 2 a média e a variação de interesse; você deseja estimar σ 2 com base em uma amostra do tamanho n .$\mu$$\sigma^2$$\sigma^2$$n$

Agora, digamos que você use o seguinte estimador:

,$S^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_{i} - \bar{X})^2$

onde é o estimador deμ.$\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$$\mu$

Não é muito difícil (ver nota de rodapé) ver que .$E[S^2] = \frac{n-1}{n}\sigma^2$

Uma vez que , o estimador S 2 é dito para ser tendencioso.$E[S^2] \neq \sigma^2$$S^2$

Mas observe que . Portanto ˜ S 2=$E[\frac{n}{n-1} S^2] = \sigma^2$é um estimador imparcial deσ2.$\tilde{S}^2 = \frac{n}{n-1} S^2$$\sigma^2$

Nota de rodapé

Comece escrevendo e expanda o produto ...$(X_i - \bar{X})^2 = ((X_i - \mu) + (\mu - \bar{X}))^2$

Edite para dar conta dos seus comentários

O valor esperado de não fornece σ 2 (e, portanto, S 2 é enviesado), mas acontece que você pode transformar S 2 em ˜ S 2 para que a expectativa dê σ 2 .$S^2$$\sigma^2$$S^2$$S^2$$\tilde{S}^2$$\sigma^2$

Na prática, muitas vezes prefere trabalhar com em vez de S 2 . Mas, se n for grande o suficiente, isso não será um grande problema, já que $\tilde{S}^2$$S^2$$n$.$\frac{n}{n-1} \approx 1$

Observação Observe que a imparcialidade é uma propriedade de um estimador, não de uma expectativa, como você escreveu.

Esta resposta esclarece a resposta do ocram. A razão chave (e mal-entendidos comum) para é que S 2 usos a estimativa ˉ X que é em si estimada a partir de dados.$E[S^2] \neq \sigma^2$$S^2$$\bar{X}$

Se você trabalhar com a derivação, verá que a variância dessa estimativa é exatamente o que fornece o adicional - σ $E[(\bar{X}-\mu)^2]$ termo$-\frac{\sigma^2}{n}$

A explicação que o @Ocram deu é ótima. Para explicar o que ele disse em palavras: se calcularmos dividindo apenas n , (o que é intuitivo), nossa estimativa de s 2 será subestimada. Para compensar, dividimos por n - 1 .$s^2$$n$$s^2$$n-1$

$P(2) = .25$$P(6) = .75$$\mu$$\sigma$$\mu$$\sigma$$n = 3$$n =3$$s^2$

Às vezes, você precisa sujar as mãos.

Geralmente, usar "n" no denominador fornece valores menores do que a variação populacional que é o que queremos estimar. Isso acontece especialmente se as pequenas amostras forem coletadas. No idioma da estatística, dizemos que a variação da amostra fornece uma estimativa "tendenciosa" da variação da população e precisa ser "imparcial".

Este vídeo responderá a cada parte da sua pergunta adequadamente.

https://www.youtube.com/watch?v=xslIhnquFoE