Como a notação lida?

10

Como a notação lida? É segue uma distribuição normal? Ou é uma distribuição normal? Ou talvez seja aproximadamente normal .. $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ $X$ $X$ $X$

E se houver várias variáveis que seguem (ou sejam quais forem as palavras) a mesma distribuição? Como está escrito?

normal-distribution notation não
fonte

X \sim N (μ, σ)

$X\sim N(\mu,\sigma)$ deve ser

X \sim N (μ, σ^{2})

$X\sim N(\mu,\sigma^2)$

mandata

7

@mandata que (infelizmente) depende de quem você pergunta. Muitos autores usam

σ

$\sigma$ na definição e na notação.

Ekvall

Eu mesmo prefiro o

σ

$\sigma$ , mas isso vai contra a corrente.

mandata

3

A notação comum é que "

\sim

$\sim$ " significa distribuído como, "

\dot{\sim}

$\dot \sim$ " (observe o ponto) significa aproximadamente distribuído como.

Cliff AB

É

(X, Y) \sim N (μ, σ^{2})

$(X,Y)\sim N(\mu,\sigma^2)$ a notação correta em relação ao segundo ponto?

não

7

Eu acho que a variável X é distribuída de acordo com a distribuição Normal com vetor médio $\mu$ e desvio padrão $\sigma$ .

Vladislavs Dovgalecs
fonte

Por que vector ?

μ

$\mu$

não

Porque a distribuição normal pode ser multivariada. Pode ser um valor único, também pode ser generalizado para dimensões.

n

$n$

Vladislavs Dovgalecs

3

Por que o apenas um escalar?

σ

$\sigma$

não

Você está certo, o não é escalar em geral para casos multivariados. Você está falando então sobre a matriz de covariância

σ

$\sigma$

Σ

$\Sigma$

Vladislavs Dovgalecs

desvio padrão .

conjugateprior

9

Quanto ao uso dos símbolos ("segue", "é distribuído de acordo com") e ("é igual a aproximadamente"), consulte esta resposta . É assim que os símbolos são usados pelo menos em Estatística / Econometria. $\sim$ $\approx$

No que diz respeito às convenções notacionais para uma distribuição, o normal é um caso limítrofe : normalmente escrevemos os parâmetros definidores de uma distribuição ao lado de seu símbolo, os parâmetros que permitirão escrever corretamente sua função de distribuição Cumulativa e sua função de densidade / massa de probabilidade. Não anotamos os momentos, que geralmente são função, mas não são iguais, desses parâmetros.

Assim, para um uniforme que varia em , escrevemos . A média da distribuição é enquanto a variação é . Para uma gama (parametrização em escala de forma), escrevemos . A média é e a variância . Etc. $[a,b]$ $U(a,b)$ $(a+b)/2$ $(b-a)^2/12$ $G(k,\theta)$ $k\theta$ $k\theta^2$

No caso da distribuição normal, o parâmetro também é a média da distribuição, enquanto o parâmetro é a raiz quadrada da variância. Tenho a impressão (possivelmente equivocada) de que nos círculos de engenharia se vê com mais frequência (que está de acordo com a regra geral da notação), enquanto nos círculos econométricos quase sempre se vê (que cai na tentação de fornecer os momentos, tratando como o parâmetro base e não como o quadrado dele). $\mu$ $\sigma$ $N(\mu, \sigma)$ $N(\mu, \sigma^2)$ $\sigma^2$

Alecos Papadopoulos
fonte

6

EDIT: Minha resposta anterior falhou ao responder à pergunta real. O que se segue é minha tentativa de uma resposta mais direta.

Como a notação lida? $X \sim N(\mu,\sigma^2)$

Outras respostas já dizem o que significa a notação, ou seja, que é uma variável aleatória distribuída normalmente com alguma média e variância . A resposta de Dilip também fornece uma boa explicação de outras interpretações possíveis quando a notação é menos clara que , por exemplo, para parâmetros gerais , viz. . $X$ $\mu$ $\sigma^2$ $\sigma^2$ $\{a,b\}$ $X\sim N(a,b)$

Sempre que vejo essa notação no texto, costumo lê-la para que faça sentido gramaticalmente. Eu diria que essa é a maneira sensata de tratar a notação. Assim, a resposta para sua pergunta é que, sabendo o que a notação significa matematicamente, você simplesmente a lê de qualquer maneira que se encaixe no texto. Aqui estão dois exemplos:

(1) Seja ... $X \sim N(a,b)$

(2) Considere três variáveis aleatórias independentes, $X\sim N(0,1), Y\sim N(1,2), Z \sim Exp(\lambda).$

Em (1) eu li como (por exemplo) "Seja normalmente distribuído com média ae variância b ...", e em (2) eu li como "... é padrão normal ...". $X$ $X$

É X segue uma distribuição normal?

Sim, isso também funciona. Muitas pessoas dizem isso dessa maneira, embora você queira incluir a média e a variação que caracterizam a distribuição.

Ou X é uma distribuição normal?

Não, isso está incorreto. Veja esta minha antiga resposta para uma descrição do que é uma distribuição.

Ou talvez X seja aproximadamente normal ..

Não, isso também está incorreto. Existem outras maneiras de denotar isso. Como apontado nos comentários, é um deles. $\overset{\cdot}{\sim}$

E se houver várias variáveis que seguem (ou sejam quais forem as palavras) a mesma distribuição? Como está escrito?

Se todos forem independentes, uma maneira fácil de escrever isso é , considerando que você tem variáveis (iid significa independente e identicamente distribuído). Se eles não forem independentes, você pode dizer que são possivelmente dependentes, mas (marginalmente) distribuídos identicamente como . Ou talvez você precise declarar a distribuição conjunta deles - isso depende de qual propósito você tem para considerar as variáveis aleatórias. $X_i \overset{iid}{\sim} N(\mu,\sigma^2),i=1,2,\dots n$ $n$ $X_i, i=1,2,\dots,n$ $N(\mu,\sigma^2)$

Se eles são conjuntamente normais, é fácil escrever que para caracterizar completamente sua distribuição conjunta usando algum vetor médio e matriz de covariância . $\mathbf X :=(X_1,\dots,X_n)'\sim N(\mu, \Sigma)$ $\mu$ $\Sigma$

Em geral, você pode definir qualquer função de distribuição multivariada e, em seguida, escrever que . $F$ $\mathbf X \sim F$

ekvall
fonte

Não é legal que, independentemente da convenção usada, seja sempre a variável aleatória normal normal?

N (0, 1)

$\mathcal N(0,1)$

precisa

@DilipSarwate, de fato! Torna o nome "padrão" muito adequado também.

Ekvall

5

A dificuldade não está em saber o que significa. Mesmo é razoavelmente inequívoco para a maioria das pessoas, pois significa uma variável aleatória normal com média e variação ou variação (os puristas devem acreditar que o desvio padrão é um parâmetro mais fundamental do que a variação deve dizer "desvio padrão "). No entanto, o que se entende por , por exemplo, está sujeito a pelo menos três convenções diferentes em relação à variação ou desvio padrão. Todas as três convenções concordam que é a média $\mathcal N(\mu,\sigma^2)$ $\mathcal N(3,5^2)$ $3$ $5^2$ $25$ $5$ $\mathcal N(a,b)$ $\mathcal N(3,25)$ $\mathbf 3$ $\mu_X$ de mas o tem significados diferentes para pessoas diferentes. $X$ $\mathbf 25$

$X \sim \mathcal N(\star,25)$ significa que o desvio padrão de é . $X$ $25$
$X \sim \mathcal N(\star,25)$ significa que a variação de é . $X$ $25$
$X \sim \mathcal N(\star,25)$ significa que a variação de é . $X$ $\dfrac{1}{25}$

Veja esta pergunta e os comentários a seguir para alguns detalhes.

Dilip Sarwate
fonte

quem além de você já teve a interpretação de que o 2º parâmetro de um Normal é o inverso da variância? É a primeira vez que me lembro de ter visto uma coisa dessas.

18715 Mark-Stone Stone

@ MarkL.Stone Por favor, não lide com a minha veracidade. Se você se desse ao trabalho de seguir o link que incluí na minha resposta e de ler os comentários, veria que o moderador whuber disse "Outros, especialmente em um contexto bayesiano, parametrizam até os normais por sua precisão, como em . " e o cardeal Moderador disse que "também existem parâmetros naturais do normal , que provavelmente parecem pouco naturais para a maioria". Esses "parâmetros naturais" surgem quando a distribuição normal é definida como um membro da família exponencial de distribuições.

N (μ, 1 / σ^{2})

$N(\mu,1/\sigma^2)$

precisa

Eu não estava tentando difamar sua veracidade. Olhei para o tópico e vi sua resposta, mas perdi o comentário do whuber. Acho que não sou bayesiano.

18715 Mark-Stone Stone

4

$X$ é uma variável aleatória " "; $X$

$\sim$ é lido "é distribuído como";

$N$ é lido como "Normal";

$\mu$ é lido "com média " (a convenção é que a primeira entrada após o parêntese aberto é a média e a segunda é a variação ou desvio padrão, dependendo da notação - veja abaixo); e $\mu$

$\sigma^2$ é lido "com variação (ou desvio padrão , dependendo do uso do autor / usuário. Nesse caso, acho que é com variação . $\sigma^2$ $\sigma^2$ $\sigma^2$

Juntando tudo isso, você tem uma variável aleatória que é distribuída como Normal com uma média "mu" ( ) e uma variação "sigma ao quadrado" ( ). $X$ $\mu$ $\sigma^2$

Você também pode dizer que segue um normal. . . $X$

Se várias variáveis seguirem a mesma distribuição, você poderá representar isso de várias maneiras, mas convém indexar as variáveis de para . Então você pode escrever, , para a . $i=1$ $n$ $X_i\sim N(\mu, \sigma^2)$ $i=1$ $n$

Estatísticas
fonte

0

$X$ é normalmente distribuído com média e desvio padrão . O til não significa aproximação, pois não está relacionado a um sinal de igual, embora o implique de uma maneira, pois X nunca é definitivamente conhecido. $\mu$ $\sigma$

mandata
fonte

Por que não? Existem populações que são totalmente conhecidas.

não

X

$X$ representa uma variável, não um conjunto de valores.

mandata

2

X é de fato uma variável aleatória ex pode ser um de seus valores. Mas isso significa que não há aproximação: tudo o que há para saber (definitivamente) sobre X é declarado na expressão que estamos discutindo.

conjugateprior

2

Para o registro, é um til. Tilda é uma marca de arroz basmati :-)

\sim

$\sim$

conjugateprior

Como a notação lida?

Respostas: