Como você decide o tamanho da amostra ao pesquisar uma população grande?

A Austrália está atualmente tendo uma eleição e, compreensivelmente, a mídia relata novos resultados de pesquisas políticas diariamente. Em um país de 22 milhões, que porcentagem da população precisaria ser amostrada para obter um resultado estatisticamente válido?

É possível que o uso de uma amostra muito grande possa afetar os resultados ou a validade estatística aumenta monotonicamente com o tamanho da amostra?

O tamanho da amostra não depende muito do tamanho da população, o que é contra-intuitivo para muitos.

A maioria das empresas de pesquisa usa 400 ou 1000 pessoas em suas amostras.

Há uma razão para isto:

Um tamanho de amostra de 400 fornecerá um intervalo de confiança de +/- 5% 19 vezes em 20 (95%)

Um tamanho de amostra de 1000 fornecerá um intervalo de confiança de +/- 3% 19 vezes em 20 (95%)

Quando você está medindo uma proporção perto de 50% de qualquer maneira.

Esta calculadora não é ruim:

http://www.raosoft.com/samplesize.html

Suponha que você queira saber qual porcentagem de pessoas votaria em um candidato em particular (digamos, , observe que, por definição, π está entre 0 e 100). Você amostra N eleitores aleatoriamente para descobrir como eles votariam e sua pesquisa com esses N eleitores indica que a porcentagem é p . Portanto, você gostaria de estabelecer um intervalo de confiança para a porcentagem verdadeira.$\pi$$\pi$$N$$N$$p$

Se você assumir que é normalmente distribuído (uma suposição que pode ou não ser justificada dependendo de quão grande é N ), seu intervalo de confiança para π seria da seguinte forma: C I = [ p - k ∗ s d ( p ) , p + k ∗ s d ( p ) ] onde $p$$N$$\pi$

$$CI = [ p - k * sd(p),~~ p + k * sd(p)]$$ $k$ é uma constante que depende da extensão de confiança desejada (ou seja, 95% ou 99%, etc.).

Do ponto de vista da pesquisa, você deseja que a largura do seu intervalo de confiança seja 'baixa'. Geralmente, os pesquisadores de pesquisas trabalham com a margem de erro que é basicamente metade do IC. Em outras palavras, . $\text{MoE} = k * sd(p)$

Aqui é como nós iria sobre cálculo : Por definição, p = Σ X i / N onde, X i = 1 se eleitor i vota no candidato e 0 caso contrário.$sd(p)$$p = \sum X_i / N$$X_i = 1$$i$$0$

$X_i$

$$Var(P) = V\left( \sum\frac{X_i}{N}\right) = \frac{\sum V(X_i)}{N^2} = \frac{N \pi (1-\pi)}{N^2} = \frac{\pi (1-\pi)}{N}.$$ $$sd(p) = \sqrt{\frac{\pi * (1-\pi)}{N}}$$ $\pi$$sd(p)$$\pi = 0.5$ $$sd(p) = \sqrt{0.5 * 0.5 / N } = 0.5 / \sqrt{N}$$ $N$$N$ não precisa ser muito grande para obter um intervalo de confiança estreito .

$k= 1.96$$N = 1000$

$$\left[p - 1.96 \frac{0.5}{\sqrt{1000}},~~ p + 1.96 \frac{0.5}{\sqrt{1000}}\right] = [p - 0.03,~~ p + 0.03]$$ $N$$N$$\pi = 50\%$

Como generalização grosseira, sempre que você provar uma fração das pessoas em uma população, obterá uma resposta diferente do que se você provar o mesmo número novamente (mas possivelmente pessoas diferentes).

Portanto, se você quiser descobrir quantas pessoas na Austrália têm> = 30 anos e se a fração verdadeira (Deus nos disse) é precisamente de 0,4, e se perguntarmos a 100 pessoas, o número médio que podemos esperar digamos que eles são> = 30 é 100 x 0,4 = 40 e o desvio padrão desse número é +/- sqrt (100 * 0,4 * 0,6) = sqrt (24) ~ 4,9 ou 4,9% (distribuição binomial).

Como essa raiz quadrada está lá, quando o tamanho da amostra aumenta 100 vezes, o desvio padrão diminui 10 vezes. Portanto, em geral, para reduzir a incerteza de uma medição como essa em um fator de 10, você precisa amostrar 100 vezes mais pessoas. Portanto, se você perguntar a 100 x 100 = 10000 pessoas, o desvio padrão subirá para 49 ou, como porcentagem, para 0,49%.