O que podemos dizer sobre a média da população a partir de um tamanho de amostra 1?

Estou imaginando o que podemos dizer, se é que alguma coisa, sobre a população significa, quando tudo o que tenho é uma medida, (tamanho da amostra 1). Obviamente, adoraríamos ter mais medidas, mas não podemos obtê-las.y $\mu$$y_1$

Parece-me que, como a média da amostra, , é trivialmente igual a , então . No entanto, com um tamanho de amostra igual a 1, a variação da amostra é indefinida e, portanto, nossa confiança no uso de como estimador de também é indefinida, correto? Haveria alguma maneira de restringir nossa estimativa de ? y1E[ ˉ y ]=E[Y1]=u ˉ y u$\bar{y}$$y_1$$E[\bar{y}]=E[y_1]=\mu$$\bar{y}$$\mu$$\mu$

Aqui está um novo artigo sobre esta questão para o caso Poisson, adotando uma boa abordagem pedagógica:

Andersson. Por Gösta (2015). Uma abordagem em sala de aula para a construção de um intervalo de confiança aproximado de uma média de Poisson usando uma observação. The American Statistician , 69 (3), 160-164, DOI: 10.1080 / 00031305.2015.1056830 .

Se se sabe que a população é normal, um intervalo de confiança de 95% com base em uma única observação é dado porx ± 9,68 | x $x$

Isso é discutido no artigo "Um intervalo de confiança eficaz para a média com amostras de tamanho um e dois", de Wall, Boen e Tweedie, The American Statistician , maio de 2001, vol. 55, no.2 . ( pdf )

Claro que existe. Use um paradigma bayesiano . Provavelmente, você tem pelo menos alguma idéia do que poderia ser - por exemplo, que fisicamente não pode ser negativo, ou que, obviamente, não pode ser maior que 100 (talvez você está medindo a altura de seus membros da equipa de futebol do ensino médio em pés). Coloque um antes disso, atualize-o com sua observação solitária e você terá um maravilhoso posterior.$\mu$

Um pequeno exercício de simulação para ilustrar se a resposta de @soakley funciona:

# Set the number of trials, M
M=10^6
# Set the true mean for each trial
mu=rep(0,M)
# Set the true standard deviation for each trial
sd=rep(1,M)
# Set counter to zero
count=0
for(i in 1:M){
 # Control the random number generation so that the experiment is replicable 
 set.seed(i)
 # Generate one draw of a normal random variable with a given mean and standard deviation
 x=rnorm(n=1,mean=mu[i],sd=sd[i])
 # Estimate the lower confidence bound for the population mean
 lower=x-9.68*abs(x)
 # Estimate the upper confidence bound for the population mean
 upper=x+9.68*abs(x)
 # If the true mean is within the confidence interval, count it in
 if( (lower<mu[i]) && (mu[i]<upper) ) count=count+1
}
# Obtain the percentage of cases when the true mean is within the confidence interval
count_pct=count/M
# Print the result
print(count_pct)
[1] 1

Fora de um milhão de tentativas aleatórias, o intervalo de confiança inclui a média verdadeira um milhão de vezes, ou seja, sempre . Isso não deve acontecer caso o intervalo de confiança seja de 95% .

Portanto, a fórmula parece não funcionar ... Ou cometi um erro de codificação?

Edit: o mesmo resultado empírico é válido quando se usa ; no entanto, é para - portanto, bem próximo do intervalo de confiança de 95%.0,950097 ≈ 0,95 ( μ , σ ) = ( 1000 , 1000 $(\mu, \sigma)=(1000,1)$
$0.950097 \approx 0.95$$(\mu, \sigma)=(1000,1000)$

Ver Edelman, D (1990) 'Um intervalo de confiança para o centro de uma distribuição unimodal desconhecida, com base em um tamanho de amostra um' The American Statistician, Vol. 44, n. 4. O artigo cobre os casos Normal e Não Paramétrico.