Cálculo da função de ligação canônica no GLM

Eu pensei que a função de ligação canônica vem do parâmetro natural da família exponencial. Digamos, considere a família então é a função de link canônico. Tomemos a distribuição de Bernoulli como exemplo, temos Portanto, a função de link canônico$g(\cdot)$

$$f(y,\theta,\psi)=\exp\left\{\frac{y\theta-b(\theta)}{a(\psi)}-c(y,\psi)\right\}$$ $\theta=\theta(\mu)$ $$P(Y=y)=\mu^{y}(1-\mu)^{1-y}=\exp\left\{y\log\frac{\mu}{1-\mu}+\log{(1-\mu)}\right\}$$ $$g(\mu)=\log\frac{\mu}{1-\mu}$$

Mas quando vejo esse slide , ele afirma que Embora possa ser facilmente verificado para essa distribuição específica (e algumas outras distribuições, como a distribuição de Poisson), Não vejo a equivalência para o caso geral. Alguém pode dar dicas? Obrigado ~

$$g'(\mu)=\frac{1}{V(\mu)}$$

A função de variação para a variável Bernoulli é . Verificamos facilmente que, com o link canônico e $V(\mu) = \mu(1-\mu)$$g(\mu) = \log \frac{\mu}{1-\mu} = \log \mu - \log(1-\mu)$

$$g'(\mu) = \frac{1}{\mu} + \frac{1}{1-\mu} = \frac{1 - \mu + \mu}{\mu(1-\mu)} = \frac{1}{\mu(1-\mu)} = \frac{1}{V(\mu)}.$$

Para o caso geral, deriva-se da definição de que consulte por exemplo, as páginas 28-29 em McCullagh e Nelder . Com o link canônico, temos , e a função de variância é definida como , que em termos de se torna Por diferenciação da identidade obtemos

$$E(Y) = \mu = b'(\theta) \quad \text{ and } \quad \text{Var}(Y) = b''(\theta) a(\psi),$$ $g$$\theta = g(\mu) = g(b'(\theta))$$b''(\theta)$$\mu$ $$V(\mu) = b''(g(\mu)).$$ $\theta = g(b'(\theta))$ $$1 = g'(b'(\theta)) b''(\theta) = g'(\mu) V(\mu),$$

Na construção de funções quase probabilidade é natural para iniciar com a relação entre a média e da variância, dado em termos da função de variância . Nesse contexto, o anti-derivado de pode ser interpretado como uma generalização da função de link, veja, por exemplo, a definição de quase-probabilidade (log) na página 325 (fórmula 9.3 ) em McCullagh e Nelder . $V$$V(\mu)^{-1}$