Cálculo da função de ligação canônica no GLM

12

Eu pensei que a função de ligação canônica vem do parâmetro natural da família exponencial. Digamos, considere a família então é a função de link canônico. Tomemos a distribuição de Bernoulli como exemplo, temos Portanto, a função de link canônicog()

f(y,θ,ψ)=exp{yθb(θ)a(ψ)c(y,ψ)}
θ=θ(μ)
P(Y=y)=μy(1μ)1y=exp{ylogμ1μ+log(1μ)}
g(μ)=logμ1μ

Mas quando vejo esse slide , ele afirma que Embora possa ser facilmente verificado para essa distribuição específica (e algumas outras distribuições, como a distribuição de Poisson), Não vejo a equivalência para o caso geral. Alguém pode dar dicas? Obrigado ~

g(μ)=1V(μ)
ziyuang
fonte

Respostas:

14

A função de variação para a variável Bernoulli é . Verificamos facilmente que, com o link canônico e V(μ)=μ(1μ)g(μ)=logμ1μ=logμlog(1μ)

g(μ)=1μ+11μ=1μ+μμ(1μ)=1μ(1μ)=1V(μ).

Para o caso geral, deriva-se da definição de que consulte por exemplo, as páginas 28-29 em McCullagh e Nelder . Com o link canônico, temos , e a função de variância é definida como , que em termos de se torna Por diferenciação da identidade obtemos

E(Y)=μ=b(θ) and Var(Y)=b(θ)a(ψ),
gθ=g(μ)=g(b(θ))b(θ)μ
V(μ)=b(g(μ)).
θ=g(b(θ))
1=g(b(θ))b(θ)=g(μ)V(μ),

Na construção de funções quase probabilidade é natural para iniciar com a relação entre a média e da variância, dado em termos da função de variância . Nesse contexto, o anti-derivado de pode ser interpretado como uma generalização da função de link, veja, por exemplo, a definição de quase-probabilidade (log) na página 325 (fórmula 9.3 ) em McCullagh e Nelder . VV(μ)1

NRH
fonte
Obrigado @NRH. Na verdade, eu sei a equivalência da distribuição de Bernoulli. Estou pensando no caso geral. E obrigado por sua referência, eu vou verificar isso :)
ziyuang
@ziyuang, o caso geral agora está incluído.
NRH 20/10/11
11
@NRH - apenas para adicionar a esta resposta, as fórmulas de média e variância podem ser derivadas pela diferenciação da equação em ambos os lados em relação a (ou equivalente ) A primeira derivada fornece a média, a segunda fornece a variação. f(y,θ,ψ)dy=1θμ
probabilityislogic
Obrigado. E eu encontrei outro link de referência: fedc.wiwi.hu-berlin.de/xplore/ebooks/html/spm/…
ziyuang