Os termos função densidade de probabilidade e distribuição de probabilidade (ou apenas "distribuição") são intercambiáveis?

Como o título diz, os termos função densidade de probabilidade e distribuição de probabilidade (ou apenas "distribuição") são intercambiáveis? Se não, qual é a diferença?

terminology pdf
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Dos dois, na verdade, acho que essa é a pergunta mais bem formulada de várias maneiras. Mas, como o último dos dois, é provavelmente o que deve ser fechado.

Silverfish 28/09

@ Silverfish Não só esta questão é melhor colocada do que a outra, mas, na minha opinião, está perguntando algo diferente. De fato, a resposta (única e aceita) à outra pergunta não responde a essa pergunta, exceto, talvez, na última frase dela. Eu voto para reabri-lo; talvez você possa se juntar a mim nisso. Confesso que tenho um motivo oculto. As perguntas fechadas como duplicatas raramente são vistas pela maioria das pessoas e não quero perder meu tempo escrevendo uma resposta aqui. Além disso, é uma pena privar as pessoas do prazer de rebater minha resposta polêmica.

Dilip Sarwate

@Dilip Se os threads fossem realmente duplicados, nós os fundiríamos, resultando na sua contribuição se tornando parte do thread original. Nesse caso, porém, concordo com a sua afirmação de que a pergunta difere suficientemente para justificar a reabertura deste tópico.

whuber

@Dilip Se isso permanecesse fechado, uma abordagem para aumentar a visibilidade de respostas relacionadas, mas não idênticas, é fazer o link aqui por meio de um comentário na pergunta que seria fechada como duplicata.

Glen_b -Reinstate Monica

Alguém pode postar aqui um link para o dup proposto anteriormente?

Kjetil b halvorsen

Respostas:

A frase função densidade de probabilidade (pdf) significa uma coisa específica: uma função para uma variável aleatória específica (é para isso que serve o subscrito, para distinguir essa função dos pdfs de outras variáveis aleatórias) com a propriedade que, para todos os números reais e de tal forma que , $f_X(\cdot)$ $X$ $a$ $b$ $a < b$ As diferentes integrais devem servir como um lembrete de que não importa, no mínimo, qual símbolo usamos comoargumento de e que não éesseo caso (como lamentavelmente, com muita frequência, se acredita por aqueles que começam com assunto) que o argumentodeveser a letra minúscula correspondente à letra maiúscula que denota a variável aleatória. Também insistimos que

P {a < X \leq b} = \int_{a}^{b} f_{X} (u) d u = \int_{a}^{b} f_{X} (v) d v = \int_{a}^{b} f_{X} (t) d t .

$P\{a < X \leq b\} = \int_a^b f_X(u)\,\mathrm du = \int_a^b f_X(v)\,\mathrm dv = \int_a^b f_X(t)\,\mathrm dt.$

f_{X} (\cdot)

$f_X(\cdot)$

para algum número real

, então

não possui um pdf, exceto aqueles que incorporam os deltas do Dirac em seu cálculo de probabilidade.

\int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (u) d u = 1.

$\int_{-\infty}^\infty f_X(u)\,\mathrm du = 1.$

P {X = α} > 0

$P\{X = \alpha\} > 0$

α

$\alpha$

X

$X$

$F_X(\cdot)$ $X$

F_{X} (α) = P {X \leq α}, - \infty < α < \infty .

$F_X(\alpha) = P\{X \leq \alpha\}, -\infty < \alpha < \infty.$

F_{X} (α) = \int_{- \infty}^{α} f_{X} (u) d u .

$F_X(\alpha) = \int_{-\infty}^\alpha f_X(u)\,\mathrm du.$

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Embora possa haver uma definição muito restritiva da distribuição de probabilidade da frase na qual algumas pessoas insistem, o uso coloquial do termo abrange amplamente o pdf, o CDF e o pmf (função de massa de probabilidade, também chamada de função de densidade discreta ou ddf) e o que mais desejarmos incluir como descritivo do comportamento probabilístico de uma variável aleatória. Por exemplo, a frase

$X$ $(a,b)$

$X$ $(a,b)~$ $X$ $(b-a)^{-1}$ $(a,b)$ $0$ $X$ $(a,b)$ $X$ $(a,b)$

Como outra instância do uso coloquial da distribuição como densidade média , considere esta citação de uma resposta postada recentemente pelo moderador Glen_b.

"Dizer o modo implica que a distribuição tenha um e apenas um."

Uma densidade pode possuir um modo exclusivo, mas um CDF não pode ter um modo exclusivo (em reais não estendidos). No entanto, ninguém lendo essa citação provavelmente pensará que Glen_b quis dizer o CDF quando escreveu "distribuição".

Dilip Sarwate
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L^{1}

$L^1$

@whuber Obrigado por reabrir a pergunta e o voto positivo. Eu apaguei o material normal de variável aleatória e o substituí por uma melhor ilustração de por que "distribuição" nem sempre significa CDF, mas pode ser um substituto para a densidade ou o pdf.

Dilip Sarwate

Na edição, você faz um bom argumento em nome da sua interpretação do uso coloquial.

whuber

Em termos de uso comum, considere analisar a terminologia usada em R. A página de ajuda Descrição nas Distribuições {stats} diz:

Densidade, função de distribuição cumulativa, função quantil e geração aleatória de variáveis para muitas distribuições de probabilidade padrão estão disponíveis no pacote de estatísticas.

Para cada uma das distribuições embutidas, ele fornece (de acordo com as páginas de ajuda individuais) a "densidade" (por exemplo, dnormpara o normal, dbinompara binomial) e a "função de distribuição" (eg, pnorm, pbinom, chamado de "função de distribuição cumulativa" na a página principal Distribuições, conforme citado acima).

Portanto, pode-se interpretar que "distribuição de probabilidade" descreve (talvez um membro de) uma família de distribuições, "densidade" pode ser usada para distribuições discretas como o binômio, e a frase "função de distribuição" pode ser preferida a "distribuição" quando o função de distribuição cumulativa é o que se destina.

Como alternativa, alguém pode argumentar que o uso comum, mesmo entre os experientes, depende frequentemente do contexto para maior clareza.

EdM
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Não.

"função densidade de probabilidade" é usada apenas para distribuições contínuas. Uma distribuição discreta não pode ter um pdf (embora possa ser aproximada com um pdf). "distribuição de probabilidade" é frequentemente usada para distribuições discretas, por exemplo, a distribuição binomial.
"distribuição de probabilidade" tem um significado para distribuições discretas e contínuas, mas uma distribuição de probabilidade é diretamente aplicável apenas a distribuições discretas. Quando a palavra é usada com distribuições contínuas, refere-se a um construto matemático subjacente, como a distribuição normal, que deve para a maioria dos propósitos ser instanciada em uma função, geralmente uma função de densidade de probabilidade ou uma função de densidade cumulativa, antes de poder ser aplicada.

Phil Goetz
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"'distribuição de probabilidade' é geralmente usada para, e apenas bem definida para, distribuição discreta" Você quer dizer que, por exemplo, uma distribuição normal não é uma distribuição de probabilidade?

Juho Kokkala

@Kokkala: Se eu quisesse dizer isso, eu simplesmente diria que "'distribuição de probabilidade' deve ser usada apenas para distribuições discretas". Essas palavras extras deveriam permitir casos em que as pessoas chamam, por exemplo, uma distribuição normal de distribuição de probabilidade. Mas você levanta um bom argumento: em domínios contínuos, a "distribuição de probabilidade" ainda é usada, mas, para aplicar uma distribuição de probabilidade, precisamos usar alguma instanciação mais específica, como um pdf ou cdf. Então, vou alterar minha resposta, se puder.

Phil Goetz

X

$X$

x \to Pr (X \leq x) .

$x\to \Pr(X\le x).$

A moda muda nisso. A função de massa de probabilidade de expressão foi introduzida para tornar o caso discreto totalmente distinto, mas, por outro lado, muitos escritores explicam que a densidade pode ser definida em termos de medida de contagem. É tudo uma questão da medida subjacente. Então não; escritores competentes podem escrever funções de densidade e ter uma definição ampla em mente, não apenas aplicabilidade a variáveis contínuas. O texto de probabilidade intermediária de Peter Whittle é um exemplo disso.

Nick Cox