Qual é a definição matemática dos parâmetros de localização / escala / forma?

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Estou tentando entender a definição exata dos parâmetros de localização / escala / forma (por exemplo, é chamado parâmetro de forma ec é parâmetro de escala no Pareto Tipo I). Mas os livros aos quais me referi ( The Cambridge Dictionary of Statistics , HMC's Introduction to Mathematics Statistics , Feller's A Introduction to Probability Theory and its Applications , etc) somente (aparentemente) forneceram definições descritivas para esses parâmetros (o parâmetro de localização é chamado de parâmetro centralizador no campo de Feller). ) A Wikipedia forneceu definições em termos de cdf e pdf, mas sem nenhuma fonte fornecida.ac

Com base nos conceitos de estatística não paramétrica (por exemplo, Cap.10 do HMC), suspeito que os parâmetros de localização / escala / forma possam ser definidos da seguinte maneira:

Deixe ser uma variável aleatória com CDF F X . Um parâmetro θ = T ( F X ) , onde T é funcional, é um parâmetro de localização se T ( F X + a )XFXθ=T(FX)Te é um parâmetro de escala se T ( F a X )

T(FX+a)=T(FX)+a,aR,T(FaX)=aT(FX),a0;
e é um parâmetro de forma se não for local nem escala.
T(FaX)=aT(FX),a>0,T(FX+b)=T(FX),bR,T(FX)=T(FX);

Estou correcto? Ou confundi alguns conceitos não relacionados?

Francis
fonte
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Minha intuição é que a existência de tal funcionalidade é única até a parametrização dos parâmetros. Não tenho certeza se tais funções sempre existem e não são necessariamente lineares. Além disso, acho que a segunda propriedade para o parâmetro location não é necessária.
Gumeo
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TbT+b(T+b)(F)=T(F)+bFT
@whuber eu perdi isso ... eu concordo com você.
Gumeo
Tμ
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@Francis No conjunto de distribuições simétricas para as quais a média e a mediana são definidas, elas concordam, para que possam ser consideradas as mesmas funcionais. No entanto, acho que você está certo em contestar a implicação de que os parâmetros de localização devem ser únicos - eles não precisam ser.
whuber

Respostas:

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Frequentemente, é verdade que estes correspondem a (alguma função) do primeiro, segundo e terceiro momento, conforme observado por GuðmundurEinarsson. No entanto, existem exceções: por exemplo, para uma distribuição de Cauchy, Evans, Hastings e Peacock (2000) chamam o primeiro parâmetro de parâmetro de localização, mas representa a mediana em vez da média. A média nem sequer é definida para uma distribuição de Cauchy.

Uma descrição mais abrangente, mas menos precisa, seria:

  • o parâmetro location muda toda a distribuição para a esquerda ou direita
  • O parâmetro scale comprime ou estende toda a distribuição
  • o parâmetro shape altera a forma da distribuição de alguma outra maneira.

Merran Evans, Nicholas Hastings e Brian Peacock (2000) Statistical Distributions , terceira edição. Wiley.

Maarten Buis
fonte
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T(FX)=FX1(1/2)
1/2=P(X+a<FX+a1(1/2))=P(X+a<FX1(1/2)+a)=1/2
a>0a<0
1/2=P(aX<FaX1(1/2))=P(aX<aFX1(1/2))=1/2.
Eu suspeito que é assim que o parâmetro de localização está sendo definido para a distribuição Cauchy (é isso que você quer dizer com Gauchy, certo?).
Francis
Meu erro: Gauchy deveria ter sido Cauchy. Eu editei a resposta para corrigi-lo.
Maarten Buis
@ Maarten você pode querer mudar sua resposta, eu apaguei o meu para não invocar mais confusão.
Gumeo