Duas definições de valor-p: como provar sua equivalência?

Estou lendo o livro de Larry Wasserman, All of Statistics , e atualmente sobre p-values ​​(página 187). Deixe-me apresentar algumas definições (cito):

Definição 1 A função de potência de um teste com a região de rejeição é definida por O tamanho de um teste é definido como Diz-se que um teste tem nível \ alpha se seu tamanho for menor ou igual a \ alpha .$R$

$$\beta(\theta)=P_{\theta}(X\in R)$$ $$\alpha = \sup_{\theta\in\Theta_0}\beta(\theta)$$ $\alpha$$\alpha$

Isso basicamente diz que $\alpha$ , o tamanho é a "maior" probabilidade de um erro do tipo I. O valor- $p$ é então definido via (cito)

Definição 2 Suponha que, para cada $\alpha\in(0,1)$ , tenhamos um teste de tamanho $\alpha$ com a região de rejeição $R_\alpha$ . Em seguida,

$$p\text{-value}=\inf\{\alpha:T(X^n)\in R_\alpha\}$$ que $X^n=(X_1,\dots,X_n)$ .

Para mim, isso significa: dado um específico, há uma região de teste e rejeição modo que . Para o valor- , simplesmente pego o menor de todos esses .R α α = sup θ ∈ q 0 ( α ) P θ ( t ( X n ) ∈ R α ) p $\alpha$$R_\alpha$$\alpha=\sup_{\theta\in\Theta_{0}(\alpha)}P_\theta(T(X^n)\in R_\alpha)$$p$$\alpha$

Pergunta 1 Se esse fosse o caso, eu poderia escolher claramente para arbitrariamente pequeno . Qual é a minha interpretação errada da definição 2, ou seja, o que isso significa exatamente?$\alpha = \epsilon$$\epsilon$

Agora Wasserman continua e afirma que um teorema tem uma definição "equivalente" de valor- com a qual estou familiarizado (cito):$p$

Teorema Suponha que o tamanho teste seja da forma Então, onde é o valor observado de .rejeita  H $\alpha$ p -valor = sup θ ∈ q 0 P θ ( t ( X n ) ≥ T ( x n ) ) x N X

$$\text{reject } H_0 \iff T(X^n)\ge c_\alpha$$ $$p\text{-value} = \sup_{\theta\in\Theta_0}P_{\theta}(T(X^n)\ge T(x^n))$$ $x^n$$X^n$

Então aqui está minha segunda pergunta:

Questão 2 Como posso realmente provar esse teorema? Talvez seja devido ao meu mal-entendido sobre a definição do valor- , mas não consigo descobrir.$p$

Temos alguns dados multivariados , extraídos de uma distribuição com algum parâmetro desconhecido . Observe que são resultados de amostra.D θ $x$$\mathcal{D}$$\theta$$x$

Queremos testar alguma hipótese sobre um parâmetro desconhecido , os valores de sob a hipótese nula estão no conjunto .θ θ $\theta$$\theta$$\theta_0$

No espaço do , podemos definir uma região de rejeição , e o poder dessa região é definido como . Portanto, a potência é calculada para um valor específico de como a probabilidade de que o resultado da amostra esteja na região de rejeição quando o valor de for . Obviamente, a potência depende da região e da escolhida .R R P R ˉ θ = P $X$$R$$R$ ˉ q qxRq ˉ q R ˉ $\mathcal{P}_\bar{\theta}^R=P_\bar{\theta}(x \in R)$$\bar{\theta}$$\theta$$x$$R$ $\theta$$\bar{\theta}$$R$$\bar{\theta}$

A definição 1 define o tamanho da região$R$ como o supremo de todos os valores de para em , portanto, apenas para valores de em . Obviamente, isto depende da região, de modo . ˉ $\mathcal{P}_\bar{\theta}^R$$\bar{\theta}$ˉ q H 0 α R = s u p ˉ q ∈ q 0 P R ˉ $\theta_0$$\bar{\theta}$$H_0$$\alpha^R=sup_{\bar{\theta} \in \theta_0} \mathcal{P}_\bar{\theta}^R$

Como depende de , temos outro valor quando a região muda, e esta é a base para definir o valor p: altere a região, mas de maneira que o valor observado da amostra ainda pertença à região, por cada uma dessas regiões, calcular o como definido acima e tomar o ínfimo: . Portanto, o valor p é o menor tamanho de todas as regiões que contêm . R α R p v ( x ) = i n f R | x ∈ R α R x$\alpha^R$$R$$\alpha_R$$pv(x)=inf_{R |_{x \in R}} \alpha^R$$x$

O teorema é então apenas uma 'tradução' dele, ou seja, o caso em que as regiões são definidas usando uma estatística e para um valor você define uma região como . Se você usar esse tipo de região no raciocínio acima, o teorema a seguir.T c R R = { x | T ( x ) ≥ c } $R$$T$$c$$R$$R=\{ x | T(x) \ge c \}$$R$

EDITAR por causa dos comentários:

@ user8: para o teorema; se você definir regiões de rejeição como no teorema, uma região de rejeição de tamanho é um conjunto que se parece com para alguns .R α = { X | T ( X ) ≥ c α } c $\alpha$$R^\alpha= \{X | T(X) \ge c_\alpha \}$$c_\alpha$

Para encontrar o valor p de um valor observado , ou seja, você deve encontrar a menor região , ou seja, o maior valor de tal que ainda contém , o último (a região contém ) é equivalente (devido à maneira como as regiões são definidas) a dizer que , então você deve encontrar o maior tal quep v ( x ) R $x$$pv(x)$$R$$c$x x c ≥ T ( x ) c { X | T ( X ) ≥ c & c ≥ T ( x ) $\{X | T(X) \ge c \}$ $x$$x$$c \ge T(x)$$c$$\{X | T(X) \ge c \& c \ge T(x) \}$

Obviamente, o maior tal que deve ser e, em seguida, o conjunto supra se tornac ≥ T ( x ) c = T ( x ) { X | T ( X ) ≥ c = T ( x ) } = { $c$$c \ge T(x)$$c = T(x)$$\{ X | T(X) \ge c = T(x)\}=\{ X | T(X) \ge T(x)\}$

Na definição 2, o valor- de uma estatística de teste é o maior limite inferior de todos modo que a hipótese é rejeitada para um teste de tamanho . Lembre-se de que quanto menor fizermos , menor será a tolerância ao erro do tipo I, portanto a região de rejeição também diminuirá. Então (de maneira muito informal), o valor- é o menor que podemos escolher que ainda nos permite rejeitar pelos dados que observamos. Não podemos escolher arbitrariamente um menor porque, em algum momento,α α α R α p α H 0 α R $p$$\alpha$$\alpha$$\alpha$$R_\alpha$$p$$\alpha$$H_0$$\alpha$$R_\alpha$ será tão pequeno que excluirá (ou seja, não conterá) o evento que observamos.

Agora, à luz do exposto, convido você a reconsiderar o teorema.