Interpretação da Lei Total de Covariância

sejam variáveis ​​aleatórias definidas no mesmo espaço de probabilidade e covariância de e seja finita, então a lei da fórmula total de decomposição de covariância / covariância declara: Qual é a interpretação de e ?$X,Y,Z$$X$$Y$

$$\begin{align} \text{Cov}(X,Y)=\underbrace{\mathbb{E}\big[\text{Cov}(X,Y\lvert Z)\big]}_{\text{(i)}}+\underbrace{\text{Cov}\big[\mathbb{E}(X\lvert Z),\mathbb{E}(Y\lvert Z)\big]}_{\text{(ii)}} \end{align}$$ $\text{(i)}$$\text{(ii)}$

Penso: em (ii) as duas expectativas condicionais podem ser vistas como variáveis ​​aleatórias, também sei que essa é uma generalização da lei da fórmula de decomposição da variância total / variância que pode ser mostrada pela configuração de , onde a interpretação é então que de uma variação em explicado por e inexplicável por . Mas qual é a interpretação correta na fórmula de covariância acima para (i) e (ii)? A Wikipedia oferece uma breve descrição que não é muito satisfatória.$X=Y$$Y$$Z$$Z$

O primeiro termo (i): $E[\operatorname{cov}(X,Y|Z)]$

Pense como uma função de Z . Ao examinar diferentes valores de Z , você obterá um valor correspondente para cov ( X , Y ) . A expectativa simplesmente médias destes diferentes covariâncias com respeito a Z .$\operatorname{cov}(X,Y)$$Z$$Z$$\operatorname{cov}(X,Y)$$Z$

O segundo termo (ii): $\operatorname{cov}([E[X|Z],E[Y|Z])$

Pense em e E [ Y | Z ] como funções de Z . Ao examinar diferentes valores de Z , você obterá correspondentemente um valor de E [ X | Z ] e um valor de E [ Y | Z ] realizado simultaneamente. Portanto, para cada valor de Z , você obterá uma coordenada ( X , Y ) . Este termo é simplesmente a covariância de todos esses pontos de coordenadas.$E[X|Z]$$E[Y|Z]$$Z$$Z$$E[X|Z]$$E[Y|Z]$$Z$$(X, Y)$

Outra interpretação possível em uma estrutura hierárquica é simples uma decomposição da covariância total em dois termos:$\operatorname{cov}(X,Y)$

1. o grupo interno ( ) e$E[\operatorname{cov}(X,Y|Z)]$
2. $\operatorname{cov}([E[X|Z],E[Y|Z])$

$X$$Y$$X$$Y$