Interpretação da Lei Total de Covariância

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sejam variáveis ​​aleatórias definidas no mesmo espaço de probabilidade e covariância de e seja finita, então a lei da fórmula total de decomposição de covariância / covariância declara: Qual é a interpretação de e ?X,Y,ZXY

Cov(X,Y)=E[Cov(X,Y|Z)](i)+Cov[E(X|Z),E(Y|Z)](ii)
(i)(ii)

Penso: em (ii) as duas expectativas condicionais podem ser vistas como variáveis ​​aleatórias, também sei que essa é uma generalização da lei da fórmula de decomposição da variância total / variância que pode ser mostrada pela configuração de , onde a interpretação é então que de uma variação em explicado por e inexplicável por . Mas qual é a interpretação correta na fórmula de covariância acima para (i) e (ii)? A Wikipedia oferece uma breve descrição que não é muito satisfatória.X=YYZZ

interest_student
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Respostas:

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O primeiro termo (i): E[cov(X,Y|Z)]

Pense como uma função de Z . Ao examinar diferentes valores de Z , você obterá um valor correspondente para cov ( X , Y ) . A expectativa simplesmente médias destes diferentes covariâncias com respeito a Z .cov(X,Y)ZZcov(X,Y)Z

O segundo termo (ii): cov([E[X|Z],E[Y|Z])

Pense em e E [ Y | Z ] como funções de Z . Ao examinar diferentes valores de Z , você obterá correspondentemente um valor de E [ X | Z ] e um valor de E [ Y | Z ] realizado simultaneamente. Portanto, para cada valor de Z , você obterá uma coordenada ( X , Y ) . Este termo é simplesmente a covariância de todos esses pontos de coordenadas.E[X|Z]E[Y|Z]ZZE[X|Z]E[Y|Z]Z(X,Y)

Antipatia
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Outra interpretação possível em uma estrutura hierárquica é simples uma decomposição da covariância total em dois termos:cov(X,Y)

  1. o grupo interno ( ) eE[cov(X,Y|Z)]
  2. cov([E[X|Z],E[Y|Z])

XYXY

Arne Jonas Warnke
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