Probabilidades simplificadas

Estou com problemas para entender as probabilidades e gostaria apenas de uma explicação básica de como interpretá-las.

Eu encontrei várias postagens relacionadas a probabilidades, mas a maioria delas é mais complexa do que estou tentando entender. Aqui está um exemplo de como estou interpretando as probabilidades: se as chances de um evento acontecer forem de 3 para 1, o evento acontecerá 3 vezes para cada 1 vez que isso não acontecer. Não sei se essa interpretação estaria correta. Portanto, qualquer orientação e mais exemplos sobre a interpretação de probabilidades seriam muito apreciados.

Em outro tópico, há uma resposta muito mais ampla do @gung que também lida com questões técnicas relacionadas, como a razão de chances, mas vou me ater ao tópico em questão: como interpretar as probabilidades e, em particular, a formulação " a$a$ " Como pergunta para iniciantes, vale a pena pensar em como as "probabilidades" são expressas no discurso cotidiano (especialmente no jargão das apostas), bem como o que as probabilidades significam para um estatístico, porque discrepâncias entre os dois são problemáticas para os alunos.$b$

Para as probabilidades expressas por um estatístico , sua afirmação está correta. Suponha que uma bolsa contenha quatro fichas, das quais três são - marinha e uma é marrom , e uma ficha é selecionada aleatoriamente. A probabilidade de o token selecionado ser água-marinha é de 3 em 4, ou seja, $\color{aquamarine}{\text{aquamarine}}$$\color{brown}{\text{brown}}$ , leia frequentemente "3 em 4". Com resultados igualmente prováveis, aschancesde água-marinha seriam calculadas como o número de resultados favoráveis ​​(3) dividido pelo número de resultados desfavoráveis ​​(1), que é$\frac{3}{4}$, geralmente leia comotrês para umou apenas como o número "três". De maneira mais geral, você pode pegar a fração de "resultados favoráveis ​​sobre resultados desfavoráveis" e cancelar (dividir) o numerador e o denominador pelo número total de resultados, para obter "a probabilidade de um resultado favorável sobre a probabilidade de um resultado desfavorável", a partir do qual um pouco de álgebra fornece:$\frac{3}{1} = 3$$\color{aquamarine}{\text{three}}\text{ to }\color{brown}{\text{one}}$

$$\text{Odds} = \frac{p}{1-p} \implies p = \frac{\text{Odds}}{1 + \text{Odds}}$$

As probabilidades expressas por uma casa de apostas são geralmente citadas como "probabilidades contra" ou "probabilidades sobre", e como elas são escritas parece ser uma causa comum de confusão. Nas chamadas probabilidades britânicas , probabilidades fracionárias ou probabilidades tradicionais , as probabilidades de água-marinha seriam escritas "3/1 em" ou "3-1 em", lidas como $\color{aquamarine}{\text{three}}\text{ to }\color{brown}{\text{one}}\text{ on}$ . * Para um jogador, o fato é que "odds on" indica que uma aposta de £ 3 na água-marinha retornaria lucro de £ 1 se for bem-sucedida (eles realmente recebem £ 4, dos quais £ 3 é simplesmente o retorno da aposta original), enquanto uma aposta falhada resulta na perda do Estaca de £ 3. Podemos ver que essas são " probabilidades justas"porque o jogador tem três chances de ganhar £ 1 e uma chance de perder £ 3, então, em média, não há ganho ou perda esperada. Até agora, há tão pouca discrepância:" odds on "são simplesmente as" odds in favor "preferidas por estatísticos.

Para eventos com 50% de probabilidade, como cara em um sorteio - dois resultados igualmente prováveis ​​de sucesso ou fracasso - um estatístico diria que as chances são de "um para um" $\frac{1}{1}$$1$

Considere uma corrida em que todos os quatro cavalos (digamos F oinavon ,$\frac{1}{3}$ ). Para um jogador, "probabilidades contra" significa uma participação de £ 1 voltaria £ 3 lucro, se bem-sucedido (eles vão realmente receber £ 4, mas £ 1 do presente é o retorno da aposta original), enquanto se vencido eles perder a aposta de R $ 1. O jogador tem três chances de perder R $ 1 e uma chance de ganhar R $ 3, então, novamente, não há lucro / perda esperado zero e as chances são justas. Infelizmente, "chances contra" (a forma usual de chances ) não corresponde às "probabilidades a favor" de um estatístico.

$\frac{1}{101}$$\frac{100}{101}$

Se algum leigo da sua audiência vier de um país onde as probabilidades fracionárias são usadas pelas casas de apostas e citadas regularmente na mídia (por exemplo, "Jeremy Corbyn deve vencer as chances de 100-1 para se tornar líder do Partido Trabalhista do Reino Unido", $a$$b$

Eu já vi pessoas tentarem isso, talvez acreditando que "o público em geral está mais familiarizado com probabilidades do que probabilidades", mas os estatísticos sábios quanto às apostas em geral e que, portanto, nunca fizeram uma aposta em suas vidas, podem ser pegos por surpresa que a concepção popular de probabilidades seja "o caminho errado". Se essa confusão exceder as vantagens do "$a$$b$

• As probabilidades de um estatístico correspondem às "probabilidades de uma casa de apostas". Se você está acostumado a "apostar contra", as probabilidades de um estatístico podem parecer "o caminho errado". Por exemplo, "10 para 1" indica um evento muito provável e "1000 para 1" é extremamente provável!
• $\frac{2}{5}$ )
• Enquanto as casas de apostas preferem dar probabilidades como uma proporção de números inteiros, ** estatísticos frequentemente simplificam suas probabilidades na forma "algo para um", mesmo que isso introduza um decimal (por exemplo, "5 para 2" se torna "2,5 para 1") .
• Um estatístico pode deixar de lado o "para um" e citar um único número (por exemplo, chances de 3,5 significam "3,5 para 1" ou "7 para 2", portanto, a expectativa de longo prazo entre sucessos e falhas é de 7: 2, a partir do qual a probabilidade de sucesso pode ser facilmente vista como $\frac{7}{9}$
• Nesta escala, as probabilidades de zero representam uma impossibilidade; as probabilidades entre 0 e 1 indicam uma chance menor que igual; as probabilidades de 1 mostram 50% de chance; as probabilidades acima de 1 indicam que o evento é mais provável do que não; um determinado evento teria chances infinitas.

Matematicamente, temos

$$\text{Odds}_\text{statistician} = \text{Odds on}_\text{British}; \quad \text{Odds}_\text{statistician} = \frac{1}{\text{Odds against}_\text{British}}$$

Mesmo isso pode não ser suficiente para evitar confusão. As probabilidades decimais , também conhecidas como probabilidades continentais ou européias , tornaram-se mais prevalentes na era dos jogos de azar on-line, especialmente para apostas em jogo e trocas de apostas em que as probabilidades fracionárias são difíceis de exibir para pequenas mudanças rápidas nas probabilidades implícitas. As probabilidades europeias citam o pagamento por unidade apostada, incluindo o retorno da aposta$1.33$$2.00$$4.00$$\text{Odds}_\text{European} = \frac{1}{p}$

$$\text{Odds}_\text{statistician} = \frac{p}{1-p} = \frac{1}{p^{-1}-1} = \frac{1}{\text{Odds}_\text{European}-1}$$

$\text{Odds}_\text{European} = \text{Odds against}_\text{British} + 1$ (devido às probabilidades europeias, incluindo o retorno da aposta no pagamento).

$1.50$$6.00$$\frac{1}{6}$

$1.00$$2.00$$\infty$

$\$100$$\$300$$\$100$$\$100$$\$300$$\$100$

$$\text{Odds}_\text{statistician} = \begin{cases} \frac{|\text{Moneyline}|}{100} & \text{if Moneyline} < 0 \\[5pt] \frac{100}{\text{Moneyline}} &\text{if Moneyline} > 0 \end{cases}$$

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Aprecio que muitas dessas respostas dizem respeito a apostas e recompensas, e não a estatísticas, mas descobri que o uso diário de "probabilidades" difere tão acentuadamente da definição técnica do estatístico, que uma comparação completa pode resolver algumas confusões (ambas não jogadores técnicos e estatísticos que não jogam). É claro que existem profundas ligações históricas e filosóficas entre apostas e estatísticas. O problema dos pontos dizia respeito à divisão justa do prêmio em um jogo interrompido, e gerava discussões desde os tempos medievais. Quando Antoine Gombaud, o cavaleiro de Méré, apresentou uma versão do problema em 1654, a correspondência subsequente de Blaise Pascal e Pierre de Fermatsobre a questão lançou os fundamentos da teoria das probabilidades. Mais recentemente, . Frank Ramsey (na década de 1920) e Bruno de Finetti(na década de 1930) examinou a coerência das apostas (relacionada ao fenômeno do jogo de um livro holandês ) como justificativa da probabilidade bayesiana: se as probabilidades subjetivas ou graus de crença de um agente não obedecem aos axiomas da probabilidade , então são incoerentes e um livro holandês pode ser feito contra o agente, expondo-o a uma certa perda. A Stanford Encyclopedia of Philosophy tem um artigo sobre o "argumento do livro holandês"

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$*$ ) Eu simplifiquei deliberadamente aqui para fins pedagógicos. De fato, as casas de apostas não são consistentes nesse ponto: essas probabilidades podem ser escritas "1/3" (significando "um a três contra"), embora isso ainda possa ser lido em voz alta como "três a um"! No entanto, embora uma casa de apostas possa escrever o número menor primeiro em uma cota contra uma aposta, nunca enquadrará uma cota na aposta desta maneira: "1/3 na" teoricamente seria o mesmo que "3/1 [contra]", mas na prática sempre seria citado na última forma.

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