Eu acho que as duas fórmulas a seguir são verdadeiras:
enquanto a é um número constante
se , são independentes
No entanto, não tenho certeza do que está errado com o abaixo:
que não seja igual a , ou seja, .
Se for assumido que é a amostra retirada de uma população, acho que sempre podemos assumir que é independente dos outros .
Então, o que há de errado com a minha confusão?
Respostas:
O problema com sua linha de raciocínio é
não é independente do X . O símbolo X está sendo usado para se referir à mesma variável aleatória aqui. Depois que você souber o valor do primeiro X a aparecer na sua fórmula, isso também corrigirá o valor do segundo X a aparecer. Se você deseja que eles se refiram a variáveis aleatórias distintas (e potencialmente independentes), é necessário denotá-las com letras diferentes (por exemplo, X e Y ) ou usando subscritos (por exemplo, X 1 e X 2 ); o último é frequentemente (mas nem sempre) usado para denotar variáveis extraídas da mesma distribuição.X X X X X X Y X1 X2
Se duas variáveis e Y são independentes, então Pr ( X = um | Y = b ) é o mesmo que Pr ( X = um ) : conhecendo o valor de Y não nos dá qualquer informação adicional sobre o valor de X . Mas Pr ( X = um | X = b ) é 1 se a = b e 0 em contrário: conhecer o valor de XX Y Pr(X=a|Y=b) Pr(X=a) Y X Pr(X=a|X=b) 1 a=b 0 X dá-lhe informações completas sobre o valor de . [Você pode substituir as probabilidades neste parágrafo por funções de distribuição cumulativa ou, quando apropriado, funções de densidade de probabilidade, para essencialmente o mesmo efeito.]X
Outra maneira de ver as coisas é que, se duas variáveis são independentes, elas têm correlação zero (embora a correlação zero não implique independência !), Mas está perfeitamente correlacionado consigo mesmo, Corr ( X , X ) = 1 para que X não possa ser independente de si mesmo. Observe que, como a covariância é dada por Cov ( X , Y ) = Corr ( X , Y ) √X Corr(X,X)=1 X , entãoCov(X,X)=1 √Cov(X,Y)=Corr(X,Y)Var(X)Var(Y)−−−−−−−−−−−−√
A fórmula mais geral para a variação de uma soma de duas variáveis aleatórias é
Em particular, , entãoCov(X,X)=Var(X)
que é o mesmo que você deduziria da aplicação da regra
Se você estiver interessado em linearidade, poderá estar interessado na bilinearidade da covariância. Para variáveis aleatórias , X , Y e Z (dependentes ou independentes) e constantes a , b , c e d , temosW X Y Z a b c d
e no geral,
You can then use this to prove the (non-linear) results for variance that you wrote in your post:
The latter gives, as a special case whena=b=1 ,
WhenX and Y are uncorrelated (which includes the case where they are independent), then this reduces to Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y) .
So if you want to manipulate variances in a "linear" way (which is often a nice way to work algebraically), then work with the covariances instead, and exploit their bilinearity.
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2+PRNG(6)+PRNG(6)
often is how you would toss dice as above and/or notation/conventions such asAnother way of thinking about it is that with random variables2X≠X+X .
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