Se

Isso não é lição de casa.

Seja uma variável aleatória. Se e , segue-se que ?$X$$\mathbb{E}[X] = k \in \mathbb{R}$$\text{Var}[X] = 0$$\Pr\left(X = k\right) = 1$

Intuitivamente, isso parece óbvio, mas não tenho certeza de como provaria isso. Eu sei de fato que, pelas suposições, segue-se que . Então Isso não parece me levar a lugar algum. Eu poderia tentar Agora desde , segue-se que também.$\mathbb{E}[X^2] = k^2$

$$\left(\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x)\right)^2 = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)\text{.}$$ $$\text{Var}[X] = \mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right]\text{.}$$ $\left(X - k\right)^2 \geq 0$$\mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right] \geq 0$

Mas se eu usasse igualdade, então meu instinto é que , de modo que .

$$\mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right] = 0$$ $\left(X - k\right)^2 \equiv 0$$X \equiv k$

Como eu saberia disso? Suponho uma prova por contradição.

Se, ao contrário, para todos , então , e para todo . Temos uma contradição, então .$X \neq k$$X$$(X-k)^2 > 0$$\mathbb{E}[(X-k)^2] > 0$$X$$X \equiv k$

A prova é sólida - e, se sim, existe talvez uma maneira melhor de provar essa afirmação?

Aqui está uma prova teórica da medida para complementar as outras, usando apenas definições. Trabalhamos em um espaço de probabilidade . Observe que e considere a integral . Suponha que, para algum , exista tal que em e . Então aproxima de baixo, então, pela definição padrão de como o supremo de integrais de funções simples aproximando de baixo, $(\Omega, \mathcal F, P)$$Y:=(X - \mathbb EX)^2 \geq 0$$\mathbb EY :=\int Y(\omega) P(d\omega)$$\epsilon>0$$A\in \mathcal F$$Y>\epsilon$$A$$P(A)>0$$\epsilon I_A$$Y$$\mathbb E Y$

$$\mathbb EY\geq \int\epsilon I_AP(d\omega) = \epsilon P(A)>0,$$ que é uma contradição. Assim, , . Feito.$\forall \epsilon>0$$P\left(\{\omega : Y>\epsilon \}\right) = 0$

Prove isso por contradição. Pela definição da variação e suas suposições, você tem

$$0 =\text{Var}X = \int_\mathbb{R} (x-k)^2\,f(x)\,dx,$$

onde é a densidade de probabilidade de . Note-se que ambos e são não negativos.$f$$X$$(x-k)^2$$f(x)$

Agora, se , então$P(X=k)<1$

$$U:=\big(\mathbb{R}\setminus\{k\}\big)\cap f^{-1}\big(]0,\infty[\big)$$

tem maior medida do que zero, e . Mas então$k\notin U$

$$\int_U (x-k)^2\,f(x)\,dx > 0,$$

(algum argumento no estilo pode ser incluído aqui) e, portanto,$\epsilon$

$$0 =\text{Var}X = \int_\mathbb{R} (x-k)^2\,f(x)\,dx \geq \int_U (x-k)^2\,f(x)\,dx > 0,$$

e sua contradição.

O que é ? É o mesmo que como?$X \equiv k$$X = k$

ETA: Iirc,$X \equiv k \iff X(\omega) = k \ \forall \ \omega \in \Omega \to X=k \ \text{a.s.}$

De qualquer forma, é óbvio que

$$(X-E[X])^2 \ge 0$$

Suponha

$$E[X-E[X])^2] = 0$$

Então

$$(X-E[X])^2 = 0 \ \text{a.s.}$$

O último passo que eu acredito envolve continuidade de probabilidade ... ou o que você fez (você está certo).

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Há também a desigualdade de Chebyshev :

$\forall \epsilon > 0$ ,

$$P(|X-k| \ge \epsilon) \le \frac{0}{\epsilon^2} = 0$$

$$P(|X-k| \ge \epsilon) = 0$$

$$\to P(|X-k| < \epsilon) = 1$$

Bom falar de novo .

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Btw porque é que

$$\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x) = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)$$

?

Parece-me que enquanto$LHS = k$$RHS = k^2$