Como estão relacionadas a função de erro e a função de distribuição normal padrão?

Se o PDF normal padrão for

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$$

e o CDF é

$$F(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-x^2/2}\mathrm{d}x\,,$$

como isso se transforma em uma função de erro de ?$z$

Como isso ocorre frequentemente em alguns sistemas (por exemplo, o Mathematica insiste em expressar o CDF Normal em termos de ), é bom ter um tópico como esse que documenta o relacionamento.$\text{Erf}$

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Por definição, a Função de erro é

$$\text{Erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2} \mathrm{d}t.$$

Escrevendo implica t = z / $t^2 = z^2/2$ (porquetnão é negativo), de ondedt=dz/$t = z / \sqrt{2}$$t$ . Os pontos finaist=0et=xse tornamz=0ez=x$\mathrm{d}t = \mathrm{d}z/\sqrt{2}$$t=0$$t=x$$z=0$ . Para converter a integral resultante em algo que se parece com uma função de distribuição cumulativa (CDF), ela deve ser expressa em termos de integrais que possuem limites inferiores de-∞, assim:$z=x\sqrt{2}$$-\infty$

$$\text{Erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_0^{x\sqrt{2}} e^{-z^2/2}\mathrm{d}z = 2\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x\sqrt{2}}e^{-z^2/2}\mathrm{d}z - \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^0 e^{-z^2/2}\mathrm{d}z\right).$$

Essas integrais no tamanho do lado direito são os dois valores do CDF da distribuição normal padrão,

$$\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^{-z^2/2} \mathrm{d}z.$$

Especificamente,

$$\text{Erf}(x) = 2(\Phi(x\sqrt{2}) - \Phi(0)) = 2\left(\Phi(x\sqrt{2}) - \frac{1}{2}\right) = 2\Phi(x\sqrt{2}) - 1.$$

Isso mostra como expressar a função de erro em termos do CDF normal. A manipulação algébrica disso dá facilmente o CDF Normal em termos da Função de Erro:

$$\Phi(x) = \frac{1 + \text{Erf}(x/\sqrt{2})}{2}.$$

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$\Phi$$x$$\sqrt{2}$$1$$y$$y$$2$

$$\Phi(x\sqrt{2}) = \frac{\text{Erf}(x) + 1}{2}$$

em que a notação mostra explicitamente essas três operações de multiplicação, adição e divisão.