O que é uma matriz de covariância isotrópica (esférica)?

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Alguém poderia me explicar em termos simples o que é uma matriz de covariância isotrópica? Não consigo encontrar nada online.

terminology covariance-matrix definition teste
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Respostas:

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Uma matriz de covariância é chamada isotrópica , ou esférica , se for proporcional à matriz de identidade: ou seja, é diagonal e todos os elementos na diagonal são iguais.C = λ I ,C

C=λI,

Esta definição não depende do sistema de coordenadas; se girarmos o sistema de coordenadas com uma matriz de rotação ortogonal , a matriz de covariância se transformará em ou seja, permanecerá o mesmo.V ⊤ C V = V ⊤ ⋅ λ I ⋅ V = V ⊤ V ⋅ λ I = λ I ,V

V⊤CV=V⊤⋅λI⋅V=V⊤V⋅λI=λI,

Intuitivamente, a matriz de covariância isotrópica corresponde a uma nuvem de dados "esférica". Uma esfera permanece uma esfera após a rotação.

ameba
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E se as variáveis ​​puderem ser rotacionadas para chegar à matriz de covariância ? λI
Aksakal
@Aksakal Ver atualização.
Ameba 30/03
C
@whuber Interessante! Não me lembro de que existe uma noção de formas quadráticas "isotrópicas". Mas lendo a definição agora, nenhuma matriz de covariância com pelo menos um valor próprio zero seria "isotrópica" nesse sentido?
Ameba 30/03
Você está certo - eu especifiquei incorretamente o quantificador. Por definição, uma forma quadrática isotrópica possui pelo menos um vetor isotrópico diferente de zero (em vez de todos os vetores serem isotrópicos).
whuber
0

|x−x′|

Edit: desculpe, eu li errado, para matriz, a resposta certa é a da ameba.

microfone
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As perguntas são feitas sobre a matriz de covariância . É claro que uma matriz pode ser vista como uma função, mas acho que isso requer alguma elaboração para o OP.
Ameba 30/03