Alguma vez haverá um Tribble infeliz em Oz?

Aqui está um problema divertido trazido a mim por um aluno. Embora tenha sido originalmente redigido em termos de balas mutuamente aniquiladoras disparadas a intervalos regulares por uma arma, achei que você poderia desfrutar de uma apresentação mais pacífica.

No mundo infinito e plano de Oz, a Estrada dos Tijolos Amarelos começa no centro da Cidade Esmeralda, desenrola-se pelo campo e prossegue para sempre sem se cruzar. Ao meio-dia de cada dia, um jovem Tribble hermafrodita vigoroso sai rolando por essa estrada desde sua origem a uma velocidade uniformemente escolhida aleatoriamente de até um quilômetro por dia. Ao longo de sua jornada, ele continuará rolando na mesma velocidade, sem parar. Mas se alguma vez um Tribble ultrapassa outro na estrada, cada um reconhece instantaneamente sua alma gêmea e os dois caem para o lado (presumivelmente para reproduzir e eventualmente fornecer mais Tribbles em casa).

Como você sabe, esses acasalamentos ocorrem com frequência, porque a chance de dois Tribbles rolar exatamente na mesma velocidade é zero. Oh tribbles felizes! Mas a vida é garantida para ser boa para todos eles?

Qual é a chance de que pelo menos um Tribble continue para sempre, nunca ultrapassando ou sendo ultrapassado?

probability stochastic-processes puzzle whuber
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Isso pressupõe que os Tribbles começaram a viajar em um determinado ponto no tempo (para que houvesse o Tribble nº 1) e continuassem para sempre desde então, e a probabilidade deveria ser calculada nesse período infinito de tempo?

Ameba diz Reinstate Monica

@amoeba Se você acha que faz diferença supor que havia um horário de início definido, seria muito interessante analisar essa diferença.

whuber

math.stackexchange.com/questions/1526292/colliding-bullets

Alex R.

Tribbles em Oz? Seus universos fictícios parecem um pouco confusos.

Kodiologist

@ Kodio Ambos os universos são bem conhecidos por cruzar outros universos :-).

whuber

Respostas:

Edit: Eu pareço ter misturado a idéia de probabilidade positiva e probabilidade 1. A declaração provada aqui é muito mais fraca do que eu esperava.

Intuitivamente, a resposta é 0. Não é difícil provar que

Qualquer Tribble, com probabilidade positiva, acaba se formando.

Mas acho que isso pode não ser suficiente para sugerir que, com probabilidade positiva, toda tribo acaba se casando, de acordo com o paradoxo de Zenão.

Aqui está uma prova da declaração citada. Primeiro, vamos substituir o problema por uma formulação alternativa mais simples, como segue. Há uma pilha que começa vazia. Um computador desenha variáveis aleatórias em sequência de forma independente e uniforme a partir de [0, 1]. Cada vez que um valor é desenhado, a pilha muda.

Se a pilha estiver vazia ou o item superior na pilha tiver um valor maior, um novo item será adicionado ao novo valor. (Um marcador mais lento que o último marcador ou um Tribble mais lento que o último Tribble foi criado.)
Caso contrário, o item superior será removido. (As balas ou Tribbles colidem.)

(Essa formulação não inclui o evento de um marcador ou Tribble mais rápido do que o anterior sendo criado, mas destruído antes de atingir o anterior, mas esse evento deixa a pilha da mesma forma, portanto, não tem conseqüências.)

$1$ $I_0$ $v_0$ $k$ $I_0$ $v_1,\; v_2,\; …,\; v_k$ $v_k$ $k + 1$ $(v_k, 1)$ $(v_{k-1}, 1)$ $(v_0, 1)$ $I_0$ $(1 - v_k)(1 - v_{k-1})\cdots(1 - v_0)$

Kodiologist
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