Se uma matriz de covariância inversa é esparsa, o que posso dizer sobre a matriz de covariância?

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Como a condição de esparsidade em uma matriz de covariância inversa afeta a matriz de covariância real?

Silverfish
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Infelizmente, isso não acontece
Yair Daon
Tem que haver algo. Por exemplo, a matriz de identidade é esparsa e inversa também.
Aksakal

Respostas:

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Como já comentado por Yair, não há condição específica de esparsidade da matriz de covariância inversa que afeta a matriz de covariância real ou vice-versa. Qualquer coisa que não seja um padrão trivial de matriz de esparsidade (ou seja, diagonal) não garante que refletirá em uma matriz específica e em sua inversa. Mesmo matrizes tridiagonais podem facilmente ter inversos não esparsos.

Para casos particulares em que a esparsidade da matriz ocorre em blocos, você pode obter alguns resultados decorrentes do algoritmo pseudo-inverso da matriz de blocos, que afirma que:

[UMABCD]-1=[(UMA-BD-1C)-1-UMA-1B(D-CUMA-1B)-1-D-1C(UMA-BD-1C)-1(D-CUMA-1B)-1]

mas isso é provavelmente o caso (puramente anedótico, tentei impor padrões de esparsidade através da decomposição de Cholesky de uma matriz PSD, mas falhei na minha tentativa de tentativa e erro). Você também pode considerar examinar o algoritmo Cuthill – McKee (CM) se espera que algum recurso de adjacência seja refletido na matriz de covariância. O algoritmo CM permite uma matriz esparsa que tenha um padrão de esparsidade simétrica em uma forma de matriz de banda com uma pequena largura de banda; isso pode ajudar a preservar alguma esparsidade em relação às entradas fora da diagonal da matriz inversa, mas isso não é garantido. (A aplicação do CM, se razoável, pode ser muito útil para aplicações específicas (por exemplo, em rotinas de suavização 2D) e pode acelerar significativamente seus cálculos.)

usεr11852
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(+1) Como as matrizes diagonais de bloco de qualquer forma específica são um anel, seus inversos (sempre que existem) têm a mesma estrutura diagonal de bloco e, portanto, preservam grande parte do padrão de esparsidade. Como um exemplo extremo, as matrizes diagonais são diagonais em bloco, exemplificando assim o caso apontado por @Aksakal. O mais longe que se pode seguir nessa direção é conjugar matrizes diagonais de bloco por matrizes de permutação (que obviamente preserva todas as entradas zero e não zero, mas apenas as move).
whuber
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(+1) Obrigado por este comentário (resposta curta realmente). É realmente perspicaz. Definitivamente vou considerá-lo no futuro.
usεr11852