Existe uma fórmula para calcular a mediana?

Existe um equivalente da fórmula média:

$$\begin{equation} \mathrm{mean} = \cfrac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} X_i \end{equation}$$

para mediana?

Se você definir $O_1, O_2, \ldots, O_N$ como a versão classificada dos dados originais $X_1, X_2, \ldots, X_N$ , a mediana será definida como:

$$\mathrm{Median}(\{O_1, O_2, \ldots, O_N\}) = \left\{\begin{array}{ll} O_{(N+1)/2} & \mathrm{if}~N~\mathrm{is~odd} \\ (O_{N/2}+O_{N/2+1})/2 & \mathrm{otherwise}\end{array}\right.$$

Sem solicitar seus dados, você pode usar a definição da mediana geométrica para definir a mediana em uma dimensão:

$$\mathrm{Median}(\{X_1, X_2, \ldots, X_N\}) = \arg\min_{y} \sum_{i=1}^N \big|X_i-y\big|$$

Observe que isso não define necessariamente uma mediana única quando há um número par de pontos; por exemplo, qualquer número otimiza o objetivo com .$y\in[3, 4]$$X = \{2, 3, 4, 5\}$

Uma maneira alternativa de expressar a média é a estimativa dos "mínimos quadrados":

$$\sum_{i=1}^N (X_i - m)^2$$

Escolher como a média fornece o menor valor da soma dos erros quadráticos.$m$

Agora a mediana pode ser expressa como a estimativa dos "desvios mínimos absolutos":

$$\sum_{i=1}^N |X_i - m|$$

Escolher como a mediana fornece o menor valor da soma dos erros absolutos.$m$

A mediana é o valor correspondente ao meio quantil, ou seja, metade dos valores é maior, metade é menor (perdoe-me por ignorar casos com igualdade ou quando o conjunto é par ...). Como tal, dado que o pdf do conjunto de dados é conhecido, a distribuição cumulativa é facilmente avaliada. Observando esta função, então $p_X$$X_1 \cdot X_n$$P_X$

$$median = P_X^{-1}(\frac 1 2)$$

Tomemos, por exemplo, o caso dos ângulos neste método usado neste artigo de revisão para equalização do histograma. O painel inferior esquerdo mostra o pdf de ângulos em um conjunto de imagens naturais. é a distribuição cumulativa e a mediana é o valor de correspondente ao valor , que é aproximadamente nesse caso.$p(\theta)$$P(\theta)$$\theta$$1/2$$0$