Qual é a diferença entre regressão logística e regressão de resposta fracionária?

Até onde eu sei, a diferença entre o modelo logístico e o modelo de resposta fracionária (frm) é que a variável dependente (Y) na qual frm é [0,1], mas a logística é {0, 1}. Além disso, a frm usa o estimador de quase-verossimilhança para determinar seus parâmetros.

Normalmente, podemos usar glmpara obter os modelos logísticos por glm(y ~ x1+x2, data = dat, family = binomial(logit)).

Para frm, mudamos family = binomial(logit)para family = quasibinomial(logit).

Notei que também podemos usar family = binomial(logit)para obter o parâmetro frm, pois ele fornece os mesmos valores estimados. Veja o exemplo a seguir

library(foreign)
mydata <- read.dta("k401.dta")


glm.bin <- glm(prate ~ mrate + age + sole + totemp, data = mydata
,family = binomial('logit'))
summary(glm.bin)

Retorna,

Call:
glm(formula = prate ~ mrate + age + sole + totemp, family = binomial("logit"), 
    data = mydata)

Deviance Residuals: 
    Min       1Q   Median       3Q      Max  
-3.1214  -0.1979   0.2059   0.4486   0.9146  

Coefficients:
              Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
(Intercept)  1.074e+00  8.869e-02  12.110  < 2e-16 ***
mrate        5.734e-01  9.011e-02   6.364 1.97e-10 ***
age          3.089e-02  5.832e-03   5.297 1.17e-07 ***
sole         3.636e-01  9.491e-02   3.831 0.000128 ***
totemp      -5.780e-06  2.207e-06  -2.619 0.008814 ** 
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

(Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)

    Null deviance: 1166.6  on 4733  degrees of freedom
Residual deviance: 1023.7  on 4729  degrees of freedom
AIC: 1997.6

Number of Fisher Scoring iterations: 6

E para family = quasibinomial('logit'),

glm.quasi <- glm(prate ~ mrate + age + sole + totemp, data = mydata
,family = quasibinomial('logit'))
summary(glm.quasi)

Retorna,

Call:
glm(formula = prate ~ mrate + age + sole + totemp, family = quasibinomial("logit"), 
    data = mydata)

Deviance Residuals: 
    Min       1Q   Median       3Q      Max  
-3.1214  -0.1979   0.2059   0.4486   0.9146  

Coefficients:
              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  1.074e+00  4.788e-02  22.435  < 2e-16 ***
mrate        5.734e-01  4.864e-02  11.789  < 2e-16 ***
age          3.089e-02  3.148e-03   9.814  < 2e-16 ***
sole         3.636e-01  5.123e-02   7.097 1.46e-12 ***
totemp      -5.780e-06  1.191e-06  -4.852 1.26e-06 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

(Dispersion parameter for quasibinomial family taken to be 0.2913876)

    Null deviance: 1166.6  on 4733  degrees of freedom
Residual deviance: 1023.7  on 4729  degrees of freedom
AIC: NA

Number of Fisher Scoring iterations: 6

O Beta estimado de ambos familyé o mesmo, mas a diferença são os valores SE. No entanto, para obter o SE correto, precisamos usar library(sandwich)como neste post .

Agora, minhas perguntas:

1. Qual é a diferença entre esses dois códigos?
2. A empresa está prestes a obter um SE robusto?

Se meu entendimento não estiver correto, dê algumas sugestões.

Se sua pergunta é: qual é a diferença entre esses dois códigos?

Uma olhada ?glmdiz See family for details of family functions, e uma olhada ?familyrevela a seguinte descrição:

As famílias quasibinomial e quasipoisson diferem das famílias binomial e poisson apenas pelo fato de o parâmetro dispersão não ser fixo em um, para que possam modelar a dispersão excessiva.

Isso também é o que você vê na sua saída. E essa é a diferença entre os dois modelos / códigos.

Se sua pergunta é: qual é a diferença entre a regressão logística e a resposta fracionária?

Conforme você identifica corretamente, o modelo é logístico se suas variáveis ​​dependentes forem 0 ou 1. Papke e Wooldridge mostraram que você pode usar um GLM desse formulário para frações e também para a estimativa dos parâmetros, mas é necessário calcular erros padrão robustos. Isso não é necessário para a regressão logística e, de fato, algumas pessoas pensam que você não deve calcular erros padrão robustos em modelos de probit / logit. Embora este seja um debate diferente.

A base teórica vem de um famoso artigo de Gourieroux, Monfort e Trognonna Econometrica em 1984. Eles mostram que (sob algumas condições de regularidade, etc) os parâmetros de probabilidade máxima obtidos maximizando uma probabilidade que pertence à família exponencial linear são estimativas consistentes para parâmetros pertencentes a qualquer outra probabilidade na família exponencial linear. Então, de alguma forma, estamos usando a distribuição logística aqui, mesmo que ela não seja exatamente a correta, mas os parâmetros ainda são consistentes para os parâmetros que desejamos obter. Portanto, se sua pergunta se origina da observação de que estamos usando a mesma função de probabilidade para estimar os modelos de resposta logística e fracionária, exceto que trocamos a natureza da variável dependente, essa é a intuição.