Deixe X denotar a hora da morte (ou a hora do fracasso, se você preferir uma descrição menos mórbida). Suponha que X seja uma variável aleatória contínua cuja função de densidade f(t) seja diferente de zero apenas em
(0,∞) . Agora, observe que deve ser o caso de que f(t)
decaia para 0 como t→∞ porque se f(t) não decai como indicado, então
∫∞−∞f(t)dt=1 não pode ser mantido. Assim, sua noção de que f(T) é a probabilidade de morte no momento T
(na verdade, éf(T)Δt que é (aproximadamente) a probabilidade de morte no intervalo curto (T,T+Δt]
de comprimento Δt ) leva a conclusões implausíveis e inacreditáveis, como
É mais provável que você morra no próximo mês, aos trinta anos do que aos noventa e oito.
sempre que f(t) é tal que f(30)>f(98) .
A razão pela qual (ou ) é a probabilidade "errada" de olhar é que o valor de é de interesse apenas para aqueles que estão vivos na idade (e ainda mentalmente alerta o suficiente para ler estatísticas. SE regularmente!) O que deve ser observado é a probabilidade de uma pessoa com idade de morrer no próximo mês, ou seja,f ( T ) Δ t f ( T )f(T)f(T)Δtf(T)TTT
P{(X∈(T,T+Δt]∣X≥T} definition of conditional probabilitybecause X is a continuous rv=P{(X∈(T,T+Δt])∩(X≥T)}P{X≥T}=P{X∈(T,T+Δt]}P{X≥T}=f(T)Δt1−F(T)
Escolhendo para quinze dias, uma semana, um dia, uma hora, um minuto, etc. chegamos à conclusão de que a taxa de risco (instantânea) para uma criança de year éΔtT
h(T)=f(T)1−F(T)
no sentido de que a probabilidade aproximada de morte no próximo femtossegundo
de um ano ét f ( t ) Δ t(Δt)Tf(T)Δt1−F(T).
Observe que, ao contrário da densidade integra a , a integral
deve divergir. Isso ocorre porque o CDF está relacionado à taxa de risco através def(t)1∫∞0h(t)dt F(t)
F(t)=1−exp(−∫t0h(τ)dτ)
e desde que , ele deve ser que
ou declarado formalmente, a integral da taxa de risco
deve divergir: não há divergência
potencial como uma edição anterior reivindicada.
limt→∞F(t)=1limt→∞∫t0h(τ)dτ=∞,
As taxas de risco típicas estão aumentando as funções do tempo, mas são possíveis taxas de risco constantes (vida útil exponencial). Esses dois tipos de taxas de risco obviamente têm integrais divergentes. Um cenário menos comum (para aqueles que acreditam que as coisas melhoram com a idade, como o vinho fino) é uma taxa de risco que diminui com o tempo, mas lenta o suficiente para que a integral diverja.
Imagine que você está interessado na incidência do (primeiro) casamento entre homens. Para analisar a incidência do casamento aos 20 anos, digamos, você selecionaria uma amostra de pessoas que não são casadas nessa idade e veria se elas se casarão no próximo ano (antes de completar 21 anos).
Você pode obter uma estimativa aproximada de como a proporção de indivíduos que se casaram na sua amostra de solteiros de 20 anos, ou seja,
Então, basicamente, isso é apenas usando a definição de probabilidade condicional, Agora imagine que tornamos a unidade etária cada vez menor, até dias, por exemplo. Ou seja, qual é a incidência do casamento aos 7300 dias de idade? Então você faria o mesmo, mas pesquise todos os indivíduos de 7300 dias e veja quem se casa antes do final do dia. Se é uma variável aleatória de idade no casamento, poderíamos escrever pela mesma lógica de antes.
O risco seria então a probabilidade instantânea de casamento na idade , para um indivíduo não casado. Podemos escrever isso comot
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Observe que há um problema: sua probabilidade de morrer quando você já morreu antes é bastante problemática. Portanto, faz mais sentido computar a probabilidade de morte condicional por ter sobrevivido até agora. , a probabilidade de ter sobrevivido até , dividindo a densidade de probabilidade por essa probabilidade, obterá o número esperado de vezes que morreremos dentro da próxima unidade de tempo, desde que não tenha morrido antes. Essa é a taxa de risco.1−F(t) t
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