Relação entre percentil e intervalo de confiança (média)

Essa pergunta surgiu no trabalho quando alguém me perguntou qual era a relação entre um percentil e um intervalo de confiança, e tive dificuldade em articular meus pensamentos. O contexto era uma pergunta muito simples em relação à estimativa de um intervalo de confiança de 95% na média da amostra.

Entendo que o teorema do limite central afirma que a distribuição amostral da média de qualquer variável aleatória independente será normal ou quase normal, se o tamanho da amostra for grande o suficiente. Portanto, a média da amostra possui uma distribuição normal que é o desvio padrão da amostra.$N(\bar{x}, s/\sqrt{n})$$s$

Agora, digamos que a hipótese nula seja verdadeira. Então, sob a hipótese nula, o intervalo de confiança de 95% em torno da média da amostra é$H_0: \mu_{\bar{x}} = \mu$$\mu_{\bar{x}} \pm 1.96 * s/\sqrt{n}$

A pergunta do meu colega de trabalho foi especificamente a seguinte: o erro padrão é apenas o desvio padrão da distribuição amostral da média. Assim, seria equivalente ao percentil 97,5 de uma distribuição criada pelo cálculo da média amostral de muitas amostras de tamanho ?$\mu_{\bar{x}} + 1.96 * s/\sqrt{n}$$n$

A pergunta foi realmente estranha para mim, porque percentis e intervalos de confiança são dois conceitos separados e a pergunta do meu colega de trabalho estava perguntando sobre o relacionamento entre os dois, e fiquei muito confusa, mas não consegui articular meus pontos.

Qualquer ajuda seria muito apreciada!

Seu colega de trabalho está correto, os intervalos de confiança são baseados nos percentis da distribuição amostral da estatística de interesse. Nesse caso, a estatística é . Os percentis de são diferentes.$\hat{\mu}=\frac{1}{n}\sum X_i$$X$

Você pode tentar executar seu experimento de desenhar muitos e calcular seus percentis. Você encontrará uma boa concordância com a fórmula da teoria normal, desde que para cada seja grande o suficiente. E se você continuar pensando sobre isso, poderá acabar reinventando o bootstrap, que usa os percentis observados de para gerar muitos e depois usa os percentis dessa amostra gerada para criar um intervalo de confiança.n μ iX μ$\hat{\mu}_i$$n$$\hat{\mu}_i$$X$$\hat{\mu}_i$