O coeficiente de correlação da amostra é um estimador imparcial do coeficiente de correlação da população?

É verdade que é um estimador imparcial para ? Ou seja, $R_{X,Y}$ $\rho_{X,Y}$

E [R_{X, Y}] = ρ_{X, Y} ?

$\mathbf{E}\left[R_{X,Y}\right]=\rho_{X,Y}?$

Caso contrário, o que é um estimador imparcial para ? (Talvez exista um estimador imparcial padrão? Além disso, é análogo à variação da amostra imparcial, onde simplesmente fazemos o simples ajuste da multiplicação da variação da amostra enviesada por ?) $\rho_{X,Y}$ $\frac{n}{n-1}$

O coeficiente de correlação populacional é definido como enquanto o coeficiente de correlação da amostra é definido como

ρ_{X, Y} = \frac{E [(X - μ_{X}) (Y - μ_{Y})]}{\sqrt{E [{(X - μ_{X})}^{2}]} \sqrt{E [{(Y - μ_{Y})}^{2}]}},

$\rho_{X,Y}=\frac{\mathbf{E}\left[\left(X-\mu_{X}\right)\left(Y-\mu_{Y}\right)\right]}{\sqrt{\mathbf{E}\left[\left(X-\mu_{X}\right)^{2}\right]}\sqrt{\mathbf{E}\left[\left(Y-\mu_{Y}\right)^{2}\right]}},$

R_{X, Y} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X}) (Y_{i} - \bar{Y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - \bar{X})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(Y_{i} - \bar{Y})}^{2}}} .

$R_{X,Y}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)^{2}}}.$

correlation Kenny LJ
fonte

Uma pergunta (um pouco semelhante) sobre estimadores de .

ρ

$\rho$

ttnphns

A pergunta "o que é o estimador imparcial" pressupõe que existe um e que existe apenas um. A priori , não parece haver razão para pensar nisso.

$\qquad$

Michael Hardy

@ MichaelHardy: Eu corrigi isso. Obrigado por apontar.

Kenny LJ

Só tropeçou em esta discussão, e acho que isso pode ser uma leitura interessante sciencedirect.com/science/article/pii/S0167715298000352 (I ainda não leu isso sozinho TBH)

Martn

estimador imparcial de variância mínima: projecteuclid.org/euclid.aoms/1177706717

Sextus Empiricus

Respostas:

Esta não é uma pergunta fácil, mas algumas expressões estão disponíveis. Se você está falando sobre a distribuição Normal em particular, a resposta é NÃO ! Nós temos

E \hat{ρ} = ρ [1 - \frac{(1 - ρ^{2})}{2 n} + O (\frac{1}{n^{2}})]

$\mathbb{E} \widehat{\rho} = \rho \left[1 - \frac{\left(1-\rho^2 \right)}{2n} + O\left( \frac{1}{n^2} \right) \right]$

como visto no capítulo 2 da Teoria da estimativa pontual de Lehmann. Existem infinitos termos na expressão acima, mas estamos considerando essencialmente termos de ordem igual ou inferior a desprezíveis. $n^{-2}$

Essa fórmula mostra que o coeficiente de correlação da amostra é apenas imparcial para , ou seja, independência, como seria de esperar. Também é imparcial para os casos degenerados com , mas isso não é muito interessante. Em casos gerais, o viés será da ordem mas bastante pequeno para todos os tamanhos razoáveis de amostra. $\rho = 0$ $|\rho| = 1$ $\frac{1}{n}$

Nas distribuições normais, o coeficiente de correlação da amostra é o mle, o que significa que é assintoticamente imparcial. Você também pode ver isso na fórmula acima como . Observe que isso já decorre da delimitação e da consistência do coeficiente de correlação da amostra através do teorema da convergência delimitada. $\mathbb{E} \widehat{\rho} \to \rho$

JohnK
fonte

Pode haver infinitos termos na expressão acima, mas "termos infinitos" seriam alguns termos, cada um dos quais infinito.

$\qquad$

Michael Hardy

| ρ | = 1

$|\rho| = 1$

| r | \equiv 1

$|r| \equiv 1$

| 1 |

$|1|$

Para uma pergunta relacionada, alguém sabe se existem resultados análogos para outras distribuições além da normal 2D?

precisa saber é o seguinte