Intuição por trás da distribuição da lei de energia

Eu sei que o pdf de uma distribuição de lei de energia é

$$p(x) = \frac{\alpha-1}{x_{\text{min}}} \left(\frac{x}{x_{\text{min}}} \right)^{-\alpha}$$

Mas o que significa intuitivamente se, por exemplo, os preços das ações seguem uma distribuição da lei de energia? Isso significa que as perdas podem ser muito altas, mas pouco frequentes?

Esta é uma distribuição de cauda pesada, uma vez que o cdf é

$$F(x) = 1 - \left( \dfrac{x}{x_\min} \right)^{1-\alpha}$$ Portanto, a probabilidade de exceder$x$,$(x/x_\min)^{1-\alpha}$pode ser arbitrariamente próxima de$1$pela escolha correta de$\alpha$. Por exemplo, se alguém deseja que a probabilidade exceda$10^u x_\min$seja pelo menos$0.9$, deve-se escolher$\alpha$como no máximo $$1-\log_{10}(0.9)/u$$ uma curva representada abaixo, com o primeiro eixo sendo escalado por , não por ... $u$$10^u x_\min$

Não é uma fonte revisada por pares, mas eu gosto desta nota da professora de estatística da CMU Cosma Shalizi . Ele também é autor deste artigo , sobre como estimar essas coisas a partir de dados.

O artigo Leis de Poder em Economia e Finanças pode ajudar a obter intuição sobre leis de poder. Xavier Gabaix afirma que a lei do poder (PL) é a forma adotada por um grande número de regularidades empíricas surpreendentes em economia e finanças. Sua revisão pesquisa PLs empíricos bem documentados sobre renda e riqueza, tamanho de cidades e empresas, retornos do mercado de ações, volume de negócios, comércio internacional e remuneração de executivos.

Intuição para a distribuição de Pareto

Pareto (wikipedia) descreveu originalmente a alocação de riqueza entre indivíduos: grande parte da riqueza de qualquer sociedade pertence a uma pequena porcentagem de pessoas. Sua idéia expressa mais simplesmente como o princípio de Pareto ou a "regra 80-20" diz que 20% da população controla 80% da riqueza.

A cauda certa das distribuições de renda e riqueza muitas vezes se assemelha a Pareto

Se a distribuição de renda for Pareto, pode-se derivar expressões simples para a parcela dos 1% superiores ou dos 10% superiores. Em seguida, a parte do percentil superior do qt da renda total pode ser derivada como:

$$\left(\frac{q}{100}\right)^{\frac{\alpha-1}{\alpha}},$$

onde é o parâmetro de forma. Essa expressão implica que um α mais baixo corresponde a uma cauda mais grossa da distribuição de Pareto e, portanto, uma parcela maior da renda total é capturada pelos indivíduos em percentis mais altos da distribuição. Por exemplo, com α = 2 , o compartilhamento de 1% superior é 10% e, com α = 3 , é 4%.$\alpha \geq 1$$\alpha$$\alpha=2$$\alpha=3$

Uma propriedade interessante da distribuição da lei do poder vem de analisá-la em escala logarítmica. Se temos então a transformação logarítmica Y = ln ( x / x min ) ∼ Exp ( α - 1 ) . Ou seja, os valores de X têm uma distribuição exponencial na escala logarítmica.$X \sim \text{Power}(x_\min, \alpha)$$Y = \ln(x/x_\min) \sim \text{Exp}(\alpha-1)$$X$

Agora, uma propriedade importante da distribuição exponencial é que ela possui uma taxa de risco constante. Escrevendo a taxa de risco para por meio dos primeiros princípios (como uma densidade condicional em sua forma limite) e ajustando-a para enquadrá-la em termos de X , obtemos:$Y$$X$

$$\begin{equation} \begin{aligned} \alpha -1 = \lambda_Y(y) &= \lim_{\epsilon \downarrow 0} \frac{1}{\epsilon} \cdot \mathbb{P}(y \leqslant Y \leqslant y + \epsilon| Y \geqslant y) \\[6pt] &= \lim_{\epsilon \downarrow 0} \frac{1}{\epsilon} \cdot \mathbb{P}(\ln(x) \leqslant \ln(X) \leqslant \ln(x) + \epsilon| X \geqslant x) \\[6pt] &= \lim_{\epsilon \downarrow 0} \frac{\mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant x e^\epsilon | X \geqslant x)}{\epsilon} \\[6pt] &= \lim_{\delta \downarrow 1} \frac{ \mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant \delta x | X \geqslant x)}{\ln \delta}. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

$\mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant \delta x | X \geqslant x) \approx (\alpha-1) \ln \delta$ for any small values of $\ln \delta$. Notice that this probability does not depend on the conditioning value $x$, which is the result of the constant-hazard property. Hence, for any conditioning values $x, x' > x_\min$, and any small value $\ln \delta$, we have:

$$\mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant \delta x | X \geqslant x) \approx \mathbb{P}(x' \leqslant X \leqslant \delta x' | X \geqslant x').$$

Hence, we see that the power-law can be characterised by the fact that this conditional probability is approximately the same regardless of the conditioning point. In the context of stock prices, if these follow a power-law then we can say that, the probability that the stock will "rise" by some proportion is not dependent on its present value$^\dagger$.

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$^\dagger$ We use "rise" loosely here, since we are talking about a single random variable, and we have not modelled a time-series of stock prices. Within out present context we refer to the probability of a "rise" in the stock price in the sense of a conditional probability that the price is within some interval above a lower bound, conditional on this lower bound.