Como sabemos que a probabilidade de rolar 1 e 2 é 1/18?

Desde a minha primeira aula de probabilidade, estive pensando sobre o seguinte.

O cálculo de probabilidades é geralmente introduzido através da proporção dos "eventos favorecidos" para o total de eventos possíveis. No caso de rolar dois dados de 6 lados, a quantidade de eventos possíveis é , conforme exibido na tabela abaixo.$36$

$$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|} \hline &1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & (1,1) & (1,2) & (1,3) & (1,4) & (1,5) & (1,6) \\ \hline 2 & (2,1) & (2,2) & (2,3) & (2,4) & (2,5) & (2,6) \\ \hline 3 & (3,1) & (3,2) & (3,3) & (3,4) & (3,5) & (3,6) \\ \hline 4 & (4,1) & (4,2) & (4,3) & (4,4) & (4,5) & (4,6) \\ \hline 5 & (5,1) & (5,2) & (5,3) & (5,4) & (5,5) & (5,6) \\ \hline 6 & (6,1) & (6,2) & (6,3) & (6,4) & (6,5) & (6,6) \\ \hline \end{array}$$

Se, portanto, estivéssemos interessados ​​em calcular a probabilidade do evento A "rolando e 2 ", veríamos que existem dois "eventos favorecidos" e calcularíamos a probabilidade do evento como \ frac {2} {36} = \ frac {1} {18} .2 $1$$2$$\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$

Agora, o que sempre me fez pensar é: digamos que seria impossível distinguir entre os dois dados e só os observaríamos depois que eles fossem lançados, por exemplo, observaríamos "Alguém me dá uma caixa. Eu abro a caixa. Há $1$ e $2$ ". Nesse cenário hipotético, não poderíamos distinguir entre os dois dados; portanto, não saberíamos que existem dois eventos possíveis que levam a essa observação. Então, nossos possíveis eventos gostariam disso:

$$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|} \hline (1,1) & (1,2) & (1,3) & (1,4) & (1,5) & (1,6) \\ \hline & (2,2) & (2,3) & (2,4) & (2,5) & (2,6) \\ \hline & & (3,3) & (3,4) & (3,5) & (3,6) \\ \hline & & & (4,4) & (4,5) & (4,6) \\ \hline & & & & (5,5) & (5,6) \\ \hline & & & & & (6,6) \\ \hline \end{array}$$

e calcularíamos a probabilidade do evento A como $\frac{1}{21}$ .

Mais uma vez, estou plenamente ciente do fato de que a primeira abordagem nos levará à resposta correta. A pergunta que estou me perguntando é:

Como sabemos que $\frac{1}{18}$ está correto?

As duas respostas que eu tenho são:

• Podemos verificar empiricamente. Por mais que eu esteja interessado nisso, preciso admitir que não fiz isso sozinho. Mas acredito que seria o caso.
• Na realidade, podemos distinguir entre os dados, como um preto e outro azul, ou jogar um antes do outro ou simplesmente conhecer os eventos possíveis e, em seguida, toda a teoria padrão funciona.$36$

Minhas perguntas para você são:

• Que outras razões existem para sabermos que está correto? (Tenho certeza de que deve haver algumas razões (pelo menos técnicas) e foi por isso que postei esta pergunta)$\frac{1}{18}$
• Existe algum argumento básico contra assumir que não podemos distinguir entre os dados?
• Se assumirmos que não podemos distinguir entre os dados e não temos como verificar a probabilidade empiricamente, correto ou eu ignorei alguma coisa?$P(A) = \frac{1}{21}$

Obrigado por ler a minha pergunta e espero que seja suficientemente específica.

Imagine que você jogou seu dado justo de seis lados e conseguiu ⚀. O resultado foi tão fascinante que você ligou para o seu amigo Dave e contou a ele. Como ele estava curioso sobre o que obteria ao jogar seu dado justo de seis lados, ele jogou e conseguiu.

Um dado padrão tem seis lados. Se você não está trapaceando, ele cai de cada lado com igual probabilidade, ou seja, em vezes. A probabilidade de você jogar ⚀, a mesma dos outros lados, é . A probabilidade de você jogar ⚀ e seu amigo jogar ⚁ é pois os dois eventos são independentes e multiplicamos probabilidades independentes. Dito de outra forma, existem arranjos de tais pares que podem ser facilmente listados (como você já fez). A probabilidade do evento oposto (você joga ⚁ e seu amigo joga ⚀) também é6 $1$$6$$\tfrac{1}{6}$ 36$\tfrac{1}{6} \times \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{36}$$36$$\tfrac{1}{36}$. As probabilidades que você joga ⚀, e seu amigo joga ⚁, ou que você joga ⚁, e seu amigo joga ⚀, são exclusivas , portanto, nós as adicionamos . Entre todos os arranjos possíveis, há dois que atendem a essa condição.$\tfrac{1}{36} + \tfrac{1}{36} = \tfrac{2}{36}$

Como sabemos tudo isso? Bem, com base na probabilidade , combinatória e lógica, mas esses três precisam de algum conhecimento factual para confiar. Sabemos, com base na experiência de milhares de jogadores e em alguma física, que não há razão para acreditar que um dado justo de seis lados tenha outra chance que não seja equiprobável de pousar de cada lado. Da mesma forma, não temos motivos para suspeitar que dois lances independentes estejam de alguma forma relacionados e se influenciem.

Você pode imaginar uma caixa com tickets rotulados usando todas as combinações (com repetição) de números de a . Isso limitaria o número de resultados possíveis para e mudaria as probabilidades. No entanto, se você pensar em tal definição em termos de dados, terá que imaginar dois dados que, de alguma forma, são colados. Isso é algo muito diferente de dois dados que podem funcionar de forma independente e podem ser jogados sozinhos, aterrissando de cada lado com igual probabilidade, sem se afetar.1 6 $2$$1$$6$$21$

Tudo isso dito, é preciso comentar que tais modelos são possíveis, mas não para coisas como dados. Por exemplo, na física de partículas baseada em observações empíricas, parecia que a estatística de Bose-Einstein de partículas não distinguíveis (veja também o problema de estrelas e barras ) é mais apropriada do que o modelo de partículas distinguíveis. Você pode encontrar algumas observações sobre esses modelos em Probabilidade ou Probabilidade via Expectativa, de Peter Whittle, ou no volume um de Uma introdução à teoria das probabilidades e suas aplicações por William Feller.

Eu acho que você está ignorando o fato de que não importa se "nós" podemos distinguir os dados ou não, mas sim que os dados são únicos e distintos, e agem por conta própria.

Portanto, se no cenário de caixa fechada, você abre a caixa e vê 1 e 2, não sabe se é ou , porque não é possível distinguir os dados. No entanto, ambos e levariam ao mesmo visual que você vê, ou seja, 1 e 2. Portanto, existem dois resultados favorecendo esse visual. Da mesma forma, para cada par que não seja o mesmo, existem dois resultados que favorecem cada visual e, portanto, existem 36 possíveis.( 2 , 1 ) ( 1 , 2 ) ( 2 , 1 $(1,2)$$(2,1)$$(1,2)$$(2,1)$

Matematicamente, a fórmula para a probabilidade de um evento é

$$\dfrac{\text{Number of outcomes for the event}}{\text{Number of total possible outcomes}}.$$

No entanto, essa fórmula é válida apenas para quando cada resultado é igualmente provável . Na primeira tabela, cada um desses pares é igualmente provável, portanto a fórmula é válida. Na sua segunda tabela, cada resultado não é igualmente provável; portanto, a fórmula não funciona. A maneira como você encontra a resposta usando sua tabela é

Probabilidade de 1 e 2 = Probabilidade de + Probabilidade de = .$(1,2)$$(2,1)$$\dfrac{1}{36} + \dfrac{1}{36} = \dfrac{1}{18}$

Outra maneira de pensar sobre isso é que esse experimento é exatamente o mesmo que rolar cada dado separadamente, onde você pode identificar o dado 1 e o dado 2. Portanto, os resultados e suas probabilidades serão compatíveis com o experimento em caixa fechada.

Vamos imaginar que o primeiro cenário envolva rolar um dado vermelho e um azul, enquanto o segundo envolve você rolar um par de dados brancos.

$$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \frac{\textrm{Blue}}{\textrm{Red}}&1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & (1,1) & \mathbf{(1,2)} & (1,3) & (1,4) & (1,5) & (1,6) \\ \hline 2 & \mathbf{(2,1)} & (2,2) & (2,3) & (2,4) & (2,5) & (2,6) \\ \hline 3 & (3,1) & (3,2) & (3,3) & (3,4) & (3,5) & (3,6) \\ \hline 4 & (4,1) & (4,2) & (4,3) & (4,4) & (4,5) & (4,6) \\ \hline 5 & (5,1) & (5,2) & (5,3) & (5,4) & (5,5) & (5,6) \\ \hline 6 & (6,1) & (6,2) & (6,3) & (6,4) & (6,5) & (6,6) \\ \hline \end{array}$$ $\frac{2}{36}$$\frac{1}{18}.$

$(n,n)$

A próxima pergunta é "como eu poderia saber que os eventos não são todos igualmente prováveis?" Uma maneira de pensar sobre isso é imaginar o que aconteceria se você pudesse distinguir os dois dados. Talvez você coloque uma pequena marca em cada dado. Isso não pode alterar o resultado, mas reduz o problema do anterior. Como alternativa, suponha que você escreva o gráfico de forma que, em vez de Azul / Vermelho, leia Die Esquerda / Direita.

Como exercício adicional, pense na diferença entre ver um resultado ordenado (vermelho = 1, azul = 2) versus um não ordenado (um dado mostrando 1, um dado mostrando 2).

A idéia principal é que, se você listar os 36 resultados possíveis de dois dados distinguíveis, estará listando resultados igualmente prováveis . Isso não é óbvio ou axiomático; é verdade apenas se seus dados são justos e não estão de alguma forma conectados. Se você listar os resultados de dados indistinguíveis, eles não são igualmente prováveis, porque por que deveriam ser assim como os resultados "ganham na loteria" e "não ganham na loteria" são igualmente prováveis.

Para chegar à conclusão, você precisa:

• Estamos trabalhando com dados justos, para os quais todos os seis números são igualmente prováveis.
• Os dois dados são independentes, de modo que a probabilidade de o número dois obter um número específico é sempre independente do número que o número um deu. (Imagine, em vez disso, rolar o mesmo dado duas vezes em uma superfície pegajosa de algum tipo que fez o segundo rolo sair diferente.)

$(a,b)$$a$$b$$(a,b)$$(b,a)$$a \neq b$$(a,b)$$(b,a)$

A idéia de que você pode obter probabilidades apenas contando possibilidades se baseia em suposições de igual probabilidade e independência. Essas premissas raramente são verificadas na realidade, mas quase sempre em problemas na sala de aula.

Se você traduzir isso em termos de moedas - digamos, jogando dois centavos indistinguíveis - torna-se uma questão de apenas três resultados: 2 caras, 2 caudas, 1 de cada, e o problema é mais fácil de detectar. A mesma lógica se aplica, e vemos que é mais provável obter 1 de cada um do que obter 2 caras ou 2 caudas.

Esse é o escorregadio da sua segunda tabela - ela representa todos os resultados possíveis, mesmo que nem todas sejam probabilidades igualmente ponderadas , como na primeira tabela. Seria mal definido tentar explicar o que cada linha e coluna na segunda tabela significa - elas são significativas apenas na tabela combinada em que cada resultado tem 1 caixa, independentemente da probabilidade, enquanto a primeira tabela exibe "todas as resultados igualmente prováveis ​​do dado 1, cada um com sua própria linha "e da mesma forma para colunas e dado 2.

Vamos começar declarando a suposição: dados indistinguíveis rolar apenas 21 resultados possíveis, enquanto dados distinguíveis rolar 36 resultados possíveis.

Para testar a diferença, pegue um par de dados brancos idênticos. Brasão um em um material absorvente de UV como protetor solar, que é invisível a olho nu. Os dados ainda parecem indistinguíveis até que você os veja sob uma luz negra, quando o dado revestido aparece preto enquanto o dado limpo brilha.

Esconda o par de dados em uma caixa e agite-o. Quais são as chances de você receber 2 e 1 quando abrir a caixa? Intuitivamente, você pode pensar que "rolar 1 e 2" é apenas 1 de 21 resultados possíveis, porque você não pode distinguir os dados. Mas se você abrir a caixa sob uma luz negra, poderá diferenciá-las. Quando você pode distinguir os dados, "rolar 1 e 2" é 2 de 36 combinações possíveis.

Isso significa que uma luz negra tem o poder de alterar a probabilidade de obter um determinado resultado, mesmo que os dados sejam expostos apenas à luz e observados depois de lançados? Claro que não. Nada muda os dados depois que você para de agitar a caixa. A probabilidade de um determinado resultado não pode mudar.

Como a suposição original depende de uma alteração que não existe, é razoável concluir que a suposição original estava incorreta. Mas o que dizer da suposição original está incorreta - que dados indistinguíveis geram apenas 21 resultados possíveis, ou que dados distinguíveis geram 36 resultados possíveis?

Claramente, o experimento de luz negra demonstrou que a observação não tem impacto na probabilidade (pelo menos nessa escala - a probabilidade quântica é uma questão diferente) ou na distinção dos objetos. O termo "indistinguível" apenas descreve algo que a observação não pode diferenciar de outra coisa. Em outras palavras, o fato de os dados parecerem os mesmos em algumas circunstâncias (isto é, eles não estão sob uma luz negra) e não em outros não tem nenhuma influência no fato de serem realmente dois objetos distintos. Isso seria verdade mesmo se as circunstâncias nas quais você é capaz de distinguir entre elas nunca forem descobertas.

Em resumo: sua capacidade de distinguir entre os dados que estão sendo lançados é irrelevante ao analisar a probabilidade de um resultado específico. Cada dado é inerentemente distinto. Todos os resultados são baseados nesse fato, não no ponto de vista de um observador.

Podemos deduzir que sua segunda tabela não representa o cenário com precisão.

Você eliminou todas as células abaixo e à esquerda da diagonal, na suposta base de que (1, 2) e (2, 1) são resultados congruentes e, portanto, redundantes.

Em vez disso, suponha que você jogue um dado duas vezes seguidas. É válido contar 1-depois-2 como resultado idêntico a 2-depois-1? Claramente não. Mesmo que o resultado do segundo teste não dependa do primeiro, eles ainda são resultados distintos. Você não pode eliminar os rearranjos como duplicados. Agora, rolar dois dados ao mesmo tempo é o mesmo para esse propósito, pois rolar um dado duas vezes seguidas. Portanto, você não pode eliminar os rearranjos.

(Ainda não está convencido? Aqui está uma espécie de analogia. Você caminha de sua casa até o topo da montanha. Amanhã você volta. Houve algum momento nos dois dias em que você estava no mesmo lugar? Talvez? Agora imagine você anda da sua casa até o topo da montanha e, no mesmo dia, outra pessoa caminha do topo da montanha até a sua casa. Existe algum dia naquele dia em que você se encontra? Obviamente sim. Eles são a mesma pergunta. no tempo de eventos não emaranhados não altera as deduções que podem ser feitas a partir desses eventos.)

$1$$2$ ", sem mais informações, não sabemos nada sobre a probabilidade.

Se sabemos que os dois dados são justos e que foram lançados, a probabilidade é de 1/18, como todas as outras respostas explicaram. O fato de não sabermos se o dado com 1 o dado com 2 foi rolado primeiro não importa, porque devemos explicar os dois lados - e, portanto, a probabilidade é 1/18 em vez de 1/36.

Mas se não sabemos qual processo levou à combinação 1-2, não podemos saber nada sobre a probabilidade. Talvez a pessoa que nos entregou a caixa tenha escolhido propositadamente essa combinação e colado os dados na caixa (probabilidade = 1), ou talvez tenha sacudido a caixa rolando os dados (probabilidade = 1/18) ou ele possa ter escolhido aleatoriamente combinação das 21 combinações na tabela que você nos forneceu na pergunta e, portanto, probabilidade = 1/21.

Em resumo, conhecemos a probabilidade porque sabemos qual processo leva à situação final e podemos calcular a probabilidade para cada estágio (probabilidade para cada dado). O processo é importante, mesmo que ainda não o tenhamos visto.

Para finalizar a resposta, darei alguns exemplos em que o processo importa muito:

• Nós jogamos dez moedas. Qual é a probabilidade de obter cabeças dez vezes? Você pode ver que a probabilidade (1/1024) é muito menor que a probabilidade de obter um 10 se escolhermos um número aleatório entre 0 e 10 (1/11).
• Se você gostou deste problema, pode tentar com o problema de Monty Hall . É um problema semelhante, onde o processo importa muito mais do que o que nossa intuição esperaria.

A probabilidade do evento A e B é calculada multiplicando as duas probabilidades.

A probabilidade de rolar um 1 quando houver seis opções possíveis é 1/6. A probabilidade de rolar um 2 quando houver seis opções possíveis é 1/6.

1/6 * 1/6 = 1/36.

No entanto, o evento não depende do tempo (em outras palavras, não é necessário que rolemos um 1 antes de um 2; apenas que rolemos um 1 e 2 em dois lançamentos).

Assim, eu poderia rolar 1 e depois 2 e satisfazer a condição de rolar 1 e 2, ou eu poderia rolar 2 e depois 1 e satisfazer a condição de rolar 1 e 2.

A probabilidade de rolar 2 e depois 1 tem o mesmo cálculo:

1/6 * 1/6 = 1/36.

A probabilidade de A ou B é a soma das probabilidades. Então, digamos que o evento A está rolando 1 e 2 e o evento B está rolando 2 e 1.

Probabilidade de Evento A: 1/36 Probabilidade de Evento B: 1/36

1/36 + 1/36 = 2/36, o que reduz para 1/18.