Quando a linha de regressão ao quadrado mínimo (LSQ) é igual à linha de desvio mínimo absoluto (LAD)?

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Eu tenho a seguinte pergunta em mãos.

Suponha (x1,y1),(x2,y2),,(x10,y10) representa um conjunto de observações bi-variáveis (X,Y) de tal modo que x2=x3==x10x1. Em que condições a linha de regressão com mínimos quadrados da Y em X ser idêntico à linha de desvio mínimo absoluto?

Eu sei que dizemos que queremos encontrar α^ e β^ de tal modo que Y=α^+β^X; o método LSQ dará

β^=Eu=1 110(xEu-x¯)yEuEu=1 110(xEu-x¯)xEu
e, portanto α^. Alguém pode me ajudar a prosseguir?
Qwerty
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Intuitivamente, há um caso trivial e um caso não trivial em que pares de pontos estabilizam uma linha com erros iguais.
Firebug

Respostas:

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Algumas dicas para ajudá-lo a obter algumas dicas

  1. Crie ou gere alguns dados consistentes com as condições da pergunta. Tentarx1 1=0 0,y1 1=0 0 e x2..x10=1 1 (escolhendo alguns valores para yEu, Eu=2,...,10) Onde as linhas passam em relação ao primeiro ponto?

  2. Agora comece como acima, mas tente colocar yEu, Eu=2,...,10por exemplo 1,2,3,4,5,6,7,8,9, respectivamente. Para onde vão as linhas?

    gráfico de (0,0) e nove pontos de distribuição uniforme em x = 1

  3. Agora coloque yEu, Eu=2,...,10por exemplo 1,2,3,4,5,6,7,8,99, respectivamente. Para onde vão as linhas?

    plot anterior, mas com o ponto mais alto movido para y = 99

    O que é especial / interessante sobre os valores ajustados para as duas linhas em x=1 1?

    (Se não estiver claro, tente outros valores para y10.)

    Mesmos dados mostrando linhas ajustadas

  4. Você pode provar que esse é o caso de maneira mais geral?


Em última análise, isso nos leva a uma pergunta visual, relacionada a quando meios e medianas são iguais no caso univariado. (Existe uma condição simples e óbvia que é suficiente, mas não é necessária.)

Existem várias postagens no site que discutem o outro caso. Existem alguns exemplos interessantes aqui

Glen_b -Reinstate Monica
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