A está positivamente relacionado a B.

C é o resultado de A e B, mas o efeito de A em C é negativo e o efeito de B em C é positivo.

Isso pode acontecer?

As outras respostas são realmente maravilhosas - elas dão exemplos da vida real.

Quero explicar por que isso pode acontecer, apesar de nossa intuição em contrário.

Veja isso geometricamente !

Correlação é o cosseno do ângulo entre os vetores. Essencialmente, você está perguntando se é possível que

• $A$ faz umânguloagudocom$B$ (correlaçãopositiva)
• $B$ faz umânguloagudocom$C$ (correlaçãopositiva)
• $A$ faz umânguloobtusocom$C$ (correlaçãonegativa)

Sim, claro:

Neste exemplo ( $\rho$ indica correlação):

• $A=(0.6,0.8)$
• $B=(1,0)$
• $C=(0.6,-0.8)$
• $\rho(A,B)=0.6>0$
• $\rho(B,C)=0.6>0$
• $\rho(A,C)=-0.28<0$

Sua intuição está certa!

No entanto, sua surpresa não é extraviada.

O ângulo entre os vetores é uma métrica de distância na esfera unitária, portanto satisfaz a desigualdade do triângulo:

portanto, como $\cos \measuredangle AB = \rho(A,B)$ ,

portanto (como $\cos$ está diminuindo em $[0,\pi]$ )

Tão,

• se $\rho(A,C)=\rho(B,C)=0.9$ , então $\rho(A,B)\ge 0.62$
• se $\rho(A,C)=\rho(B,C)=0.95$ , então $\rho(A,B)\ge 0.805$
• se $\rho(A,C)=\rho(B,C)=0.99$ , então $\rho(A,B)\ge 0.9602$

Sim, duas condições simultâneas podem ter efeitos opostos.

Por exemplo:

• Fazer declarações ultrajantes (A) está positivamente relacionado a ser divertido (B).
• Fazer declarações ultrajantes (A) tem um efeito negativo sobre a vitória nas eleições (C).
• Ser divertido (B) tem um efeito positivo em ganhar as eleições (C).

Eu ouvi essa analogia do carro que se aplica bem à pergunta:

• Dirigir em subida (A) está positivamente relacionado ao motorista pisar no acelerador (B)
• A subida (A) afeta negativamente a velocidade do veículo (C)
• Pisar no gás (B) afeta positivamente a velocidade do veículo (C)

A chave aqui é a intenção do motorista de manter uma velocidade constante (C); portanto, a correlação positiva entre A e B segue naturalmente essa intenção. Você pode construir infinitos exemplos de A, B, C com esse relacionamento assim.

A analogia vem de uma interpretação do termostato de Milton Friedman e de uma análise interessante da política monetária e da econometria, mas isso é irrelevante para a questão.

Sim, isso é trivial para demonstrar com uma simulação:

Simule 2 variáveis, A e B correlacionadas positivamente:

> require(MASS)
> set.seed(1)
> Sigma <- matrix(c(10,3,3,2),2,2)
> dt <- data.frame(mvrnorm(n = 1000, rep(0, 2), Sigma))
> names(dt) <- c("A","B")
> cor(dt)

          A         B
A 1.0000000 0.6707593
B 0.6707593 1.0000000

Crie a variável C:

> dt$C <- dt$A - dt$B + rnorm(1000,0,5)

Contemplar:

> (lm(C~A+B,data=dt))

Coefficients:
(Intercept)            A            B  
    0.03248      0.98587     -1.05113  

$\operatorname{cor}(A,B) > 0$$\operatorname{cor}(A,C) > 0$$\operatorname{cor}(B,C) < 0$

> set.seed(1)
> Sigma <- matrix(c(1,0.5,0.5,0.5,1,-0.5,0.5,-0.5,1),3,3)
> dt <- data.frame(mvrnorm(n = 1000, rep(0,3), Sigma, empirical=TRUE))
> names(dt) <- c("A","B","C")
> cor(dt)
    A    B    C
A 1.0  0.5  0.5
B 0.5  1.0 -0.5
C 0.5 -0.5  1.0

então

Então, a covariância entre C e A pode ser negativa em duas condições:

1. $n>m,\ \left<A,A\right> < \left<B,A\right> (n-m)/n$
2. $n<-m,\ \left<A,A\right> > \left<B,A\right> (n-m)/n$