Modelagem de jogadores de críquete e batedores

Eu tenho um conjunto de dados detalhando um grande número de jogos de críquete (alguns milhares). No críquete, os "jogadores de boliche" jogam repetidamente uma bola em uma sucessão de "batedores". O jogador está tentando tirar o batedor "de fora". A este respeito, é bastante semelhante aos jarros e rebatedores no beisebol.

Se eu pegasse o conjunto de dados inteiro e dividisse o número total de bolas que lançaram um batedor pelo número total de bolas lançadas, posso ver que eu teria a probabilidade média de um lançador lançar um batedor - será em torno de 0,03 ( espero que eu não tenha dado errado já?)

O que me interessa é o que posso fazer para tentar calcular a probabilidade de um batedor específico ser derrubado por um jogador específico na próxima bola.

O conjunto de dados é grande o suficiente para que qualquer jogador jogue milhares de bolas para uma grande variedade de batedores. Portanto, acredito que eu poderia simplesmente dividir o número de outs que um jogador consegue pelo número de bolas que ele jogou para calcular uma nova probabilidade de que aquele jogador específico saia da próxima bola.

Meu problema é que o conjunto de dados não é grande o suficiente para garantir que um determinado jogador jogue um número estatisticamente significativo de bolas em qualquer batedor. Então, se estou interessado em calcular a probabilidade de uma saída para um jogador específico enfrentando um batedor específico, não acho que isso não possa ser feito da mesma maneira simplista.

Minha pergunta é se a seguinte abordagem é válida:

• Em todo o conjunto de dados, a probabilidade de uma bola sair é de 0,03.

• Se eu calcular que, em média, o jogador A tem uma probabilidade de sair de 0,06 (ou seja, duas vezes mais que um jogador médio),

• e, em média, o batedor B tinha uma probabilidade de estar fora de 0,01 (um terço da probabilidade de um batedor médio),

• é então válido dizer que a probabilidade desse batedor específico estar na próxima bola para aquele jogador específico será 0,06 * (0,01 / 0,03) = 0,02?

$\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}}$

Se eu pegasse todo o conjunto de dados e dividisse o número total de bolas que lançaram um batedor pelo número total de bolas lançadas, posso ver que eu teria a probabilidade média de um lançador lançar um batedor - será em torno de 0,03 (esperançosamente Eu ainda não errei?)

Infelizmente, talvez isso já não seja exatamente o que você está procurando.

Suponha que tenhamos um único jogador e dois batedores: Don Bradman e eu. (Sei muito pouco sobre críquete, por isso, se estou fazendo algo fora daqui, avise-me.) Os jogos são parecidos com:

• Don vai para o taco e sai na 99ª tigela.
• Vou para o bastão e saio imediatamente.
• Don vai para o taco e sai na 99ª tigela.
• Vou para o bastão e saio imediatamente.

Nesse caso, existem quatro saídas em 200 taças, portanto a probabilidade marginal de um jogador conseguir um batedor é estimado em 4/200 = 2%. Mas, na verdade, a probabilidade de Don ficar de fora é mais de 1%, enquanto a minha é de 100%. Portanto, se você escolher um batedor e um jogador aleatoriamente, a probabilidade de que esse jogador jogue esse batedor desta vez é mais (50% de chance de você escolher Don) * (1% de chance de ele sair) + (50% de chance que você escolheu eu) * (100% de chance de sair) = 50,05%. Mas se você escolher um campo aleatoriamente, haverá 2% de chance de sair. Então, você precisa pensar cuidadosamente sobre qual desses modelos de amostragem está pensando.

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De qualquer forma, sua proposta não é louca. Mais simbolicamente, deixe ser o jogador e m o batedor; deixe f ( b , m ) ser a probabilidade de que b fica m para fora. Então você está dizendo:$b$$m$$f(b, m)$$b$$m$

$$f(b, m) = \frac{\E_{m'}[ f(b, m') ] \E_{b'}[ f(b', m) ]}{\E_{b', m'}[ f(b', m') ]} .$$

Isso tem a propriedade desejada que: é igualmente consistente se você usar apenas mais deboum.

$$\E_{b,m}[f(b, m)] = \frac{\E_{b,m'}[ f(b, m') ] \E_{b',m}[ f(b', m) ]}{\E_{b',m'}[ f(b', m') ]} = \E_{b,m}[ f(b, m) ] ;$$ $b$$m$

Observe que, neste caso, podemos atribuir Seu pressuposto é que você pode observarg(b)eh(m)razoavelmente bem a partir dos dados. Contanto que (a) você tenha jogos suficientes [o que você faz] e (b) todos os jogadores se jogam com frequências razoavelmente semelhantes, então tudo bem.

$$\begin{gather} C := \E_{b, m}[f(b, m)] \\ g(b) := \E_{m}[f(b, m)] / \sqrt{C} \\ h(m) := \E_{b}[f(b, m)] / \sqrt{C} \\ \text{so that } f(b, m) = g(b) \, h(m) .\end{gather}$$ $g(b)$$h(m)$

Para elaborar um pouco sobre (b): imagine que você tem dados de vários jogos profissionais e vários jogos meus jogando com meus amigos. Se não houver sobreposição, talvez eu pareça muito bem em comparação com meus amigos, então talvez você pense que sou muito melhor que o pior jogador profissional. Isso é obviamente falso, mas você não tem dados para refutá-lo. Se você tiver uma pequena sobreposição, onde joguei contra um jogador profissional uma vez e fui destruído, os dados suportam a classificação de mim e de meus amigos como piores do que os profissionais, mas seu método não explica isso. Tecnicamente, o problema aqui é que você está assumindo que possui uma boa amostra para, por exemplo, $\E_{b'}[f(b', m)]$, mas sua distribuição é tendenciosa.$b'$

É claro que seus dados não ficarão tão ruins assim, mas dependendo da estrutura da liga ou o que for, podem ter alguns elementos desse problema.

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Você pode tentar contornar isso com uma abordagem diferente. O modelo proposto para é na verdade uma instância de modelos de fatoração de matriz de baixo escalão, comuns na filtragem colaborativa , como no problema da Netflix . Há, de escolher a função g ( b ) e h ( m ) ser de dimensão r , e representam f ( b , m ) = g ( b ) T h ( m ) . Você pode interpretar r > $f$$g(b)$$h(m)$$r$$f(b, m) = g(b)^T h(m)$$r>1$como complexificar seu modelo de uma única pontuação de "qualidade" para ter pontuações em várias dimensões: talvez certos jogadores se saiam melhor contra certos tipos de batedores. (Isso foi feito, por exemplo, para jogos da NBA .)

A razão pela qual eles são chamados fatoração matricial é porque, se você criar uma matriz com tantas linhas quanto jogadores e tantas colunas quanto batedores, poderá escrever isso como$F$

onde vocêfatorouumN×

$$\underbrace{\begin{bmatrix} f(b_1, m_1) & f(b_1, m_2) & \dots & f(b_1, m_M) \\ f(b_2, m_1) & f(b_2, m_2) & \dots & f(b_2, m_M) \\ \vdots & \vdots & \ddots& \vdots \\ f(b_N, m_1) & f(b_N, m_2) & \dots & f(b_N, m_M) \end{bmatrix}}_{F} = \underbrace{\begin{bmatrix} g(b_1) \\ \vdots \\ g(b_N) \end{bmatrix}}_{G} \underbrace{\begin{bmatrix} h(m_1) \\ \vdots \\ h(m_M) \end{bmatrix}^T}_{H^T}$$ $N \times M$matriz em um N × r um L e um H × R um H .$F$$N \times r$$G$$M \times r$$H$

Obviamente, você não consegue observar diretamente. O modelo usual é que você observe entradas ruidosas de F aleatoriamente; no seu caso, você começa a observar um empate a partir de uma distribuição binomial com um número aleatório de ensaios para cada entrada de F .$F$$F$$F$

Você pode construir um modelo de probabilidade como, digamos:

$$\begin{gather} G_{ik} \sim \mathcal{N}(0, \sigma_G^2) \\ H_{jk} \sim \mathcal{N}(0, \sigma_H^2) \\ F_{ij} = G_i^T H_j \\ R_{ij} \sim \mathcal{Binomial}(n_{ij}, F_{ij}) \end{gather}$$ $n_{ij}$$R_{ij}$$\sigma_G$$\sigma_H$

$n$$F_{ij}$$[0, 1]$$G$$H$

Você não pode inferir a probabilidade correta de B sair, já que A é o jogador que A e B nunca se encontraram no campo apenas com base em suas médias com outros jogadores.