Definição freqüentista de probabilidade; existe uma definição formal?

Existe alguma definição formal (matemática) do que os freqüentadores entendem sob "probabilidade". Eu li que é a frequência relativa de ocorrência '' a longo prazo '', mas existe alguma maneira formal de defini-la? Existem referências conhecidas nas quais posso encontrar essa definição?

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Com frequentista (veja o comentário de @whuber e meus comentários à resposta @ Kodiologist e @Graeme Walsh abaixo dessa resposta), quero dizer aqueles que “acreditam” que essa frequência relativa de longo prazo existe. Talvez isso (parcialmente) responda à pergunta do @Tim também

TL; DR Não parece possível definir uma definição freqüente de probabilidade consistente com a estrutura de Kolmogorov que não seja completamente circular (isto é, no sentido da lógica circular).

$$\underset{n \to \infty}{\lim} \frac{n_A}{n}$$ $n_A$

Mas todas essas noções de convergência exigem que uma medida no espaço de probabilidade seja definida como significativa. A escolha intuitiva, é claro, seria escolher convergência quase certamente. Esse recurso possui o limite necessário para existir no sentido horário, exceto em um evento de medida zero. O que constitui um conjunto de medidas zero coincidirá para qualquer família de medidas que sejam absolutamente contínuas uma em relação à outra - isso nos permite definir uma noção de convergência quase certa, tornando o limite acima rigoroso, embora seja um pouco agnóstico sobre o que os subjacentes A medida para o espaço mensurável dos eventos é (ou seja, porque poderia ser qualquer medida absolutamente contínua em relação a alguma medida escolhida). Isso impediria a circularidade na definição que surgiria da fixação antecipada de uma determinada medida,

No entanto, se estivermos usando convergência quase certa, isso significa que estamos nos limitando à situação da lei forte de grandes números (doravante SLLN). Deixe-me declarar esse teorema (como dado na p. 133 de Chung) para fins de referência aqui:

Seja uma sequência de variáveis ​​aleatórias independentes e identicamente distribuídas. Então nós temos onde .$\{X_n\}$

$$\mathbb{E}|X_1| < \infty \implies \frac{S_n}{n} \to \mathbb{E}(X_1)\quad a.s.$$ $$\mathbb{E}|X_1| = \infty \implies \underset{n \to \infty}{\lim\sup}\frac{|S_n|}{n} = + \infty \quad a.s.$$ $S_n:= X_1 + X_2 + \dots + X_n$

Então, digamos que temos um espaço mensurável e queremos definir a probabilidade de algum evento com relação a alguma família de medidas de probabilidade mutuamente absolutamente contínuas . Então, pelo Teorema de Extensão Kolmogorov ou pelo Teorema de Extensão Ionescu Tulcea (acho que ambos funcionam), podemos construir uma família de espaços de produtos , um para cada . (Observe que a existência de espaços infinitos de produtos, que é uma conclusão do teorema de Kolmogorov, exige que a medida de cada espaço seja ; portanto, agora estou restringindo as medidas de probabilidade, em vez de arbitrárias). Então defina$(X, \mathscr{F})$$A \in \mathscr{F}$$\{\mu_i\}_{i \in I}$$\{(\prod_{j=1}^{\infty} X_j)_i\}_{i \in I}$$\mu_i$$1$$\mathbb{1}_{A_j}$ é a variável aleatória do indicador, ou seja, que é igual a se ocorrer na ésima cópia e se não, em outras palavrasEntão claramente (onde denota expectativa em relação a ), portanto a lei forte de grandes números de fato aplica-se a (porque, por construção, o$1$$A$$j$$0$

$$n_A = \mathbb{1}_{A_1} + \mathbb{1}_{A_2} + \dots + \mathbb{1}_{A_n}.$$ $0 \le \mathbb{E}_i \mathbb{1}_{A_j} \le 1$$\mathbb{E}_i$$\mu_i$$(\prod_{j=1}^{\infty} X_j)_i$$\mathbb{1}_{A_j}$são distribuídos de forma idêntica e independente - observe que ser distribuído de forma independente significa que a medida do espaço do produto é multiplicativa em relação às medidas de coordenadas), portanto obtemos que e, portanto, nossa definição para a probabilidade de com relação a deve ser naturalmente . $$\frac{n_A}{n} \to \mathbb{E}_i \mathbb{1}_{A_1} \quad a.s.$$ $A$$\mu_i$$\mathbb{E}_1 \mathbb{1}_{A}$

Acabei de perceber, no entanto, que, apesar de a sequência de variáveis ​​aleatórias convergir quase certamente em relação a se e somente se convergir quase certamente em relação a , ( onde ) que não significa necessariamente que convergirá para o mesmo valor ; de fato, o SLLN garante que não, a menos que que não é verdade genericamente.$\frac{n_A}{n}$$\mu_{i_1}$$\mu_{i_2}$$i_1, i_2 \in I$$\mathbb{E}_{i_1} \mathbb{1}_A = \mathbb{E}_{i_2} \mathbb{1}_A$

Se é de alguma forma "canônico o suficiente", digamos, como a distribuição uniforme de um conjunto finito, talvez isso funcione bem, mas não dê novas idéias. Em particular, para a distribuição uniforme, , ou seja, a probabilidade de é apenas a proporção de pontos ou eventos elementares em que pertencem a , que novamente me parece um pouco circular. Para uma variável aleatória contínua, não vejo como poderíamos concordar com uma escolha "canônica" de .$\mu$$\mathbb{E}\mathbb{1}_A = \frac{|A|}{|X|}$$A$$X$$A$$\mu$

Ou seja, parece que faz sentido definir a frequência de um evento como a probabilidade do evento, mas não parece que faz sentido definir a probabilidade do evento como a frequência (pelo menos sem ser circular). Isso é especialmente problemático, pois na vida real não sabemos qual é a probabilidade; nós temos que estimar isso.

Observe também que essa definição de frequência para um subconjunto de um espaço mensurável depende da medida escolhida ser um espaço de probabilidade; por exemplo, não há medida de produto para muitas cópias de dotadas com a medida de Lebesgue, pois . Da mesma forma, a medida de usando a medida de produto canônico é , que explode até o infinito se ou passa a zero se , isto é, os teoremas de extensão de Kolmogorov e Tulcea são resultados muito especiais, peculiares às medidas de probabilidade .$\mathbb{R}$$\mu(\mathbb{R})=\infty$$\prod_{j=1}^n X$$(\mu(X))^n$$\mu(X) >1$$\mu(X) <1$

Eu não acho que exista uma definição matemática, não. A diferença entre as várias interpretações de probabilidade não é uma diferença em como a probabilidade é matematicamente definida. A probabilidade pode ser matematicamente definida da seguinte maneira: se é um espaço de medida com , então a probabilidade de qualquer evento é apenas . Espero que você concorde que essa definição seja neutra a questões como se devemos interpretar probabilidades de maneira freqüentista ou bayesiana.$(Ω, Σ, μ)$$μ(Ω) = 1$$S ∈ Σ$$μ(S)$