A distribuição para o produto Kronecker de dois vetores aleatórios uniformes na esfera unitária?

Sim. Isso fica claro ao trabalhar com as definições.

O produto Kronecker

A esfera unitária é o conjunto de vetores de unidades no espaço euclidiano onde é a norma euclidiana. $S^{n-1}$ $E^n = \left(\mathbb{R}^n, ||\cdot ||\right)$

| | (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})^{'} | | = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}}

$||(x_1,x_2,\ldots,x_n)^\prime|| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}$

O "produto Kronecker" é o produto tensorial usual. Existem várias maneiras de pensar e calcular com ele. Um é defini-lo como uma matriz $n\times n$

x \otimes y = x y^{'} = (\begin{matrix} x_{1} y_{1} & x_{1} y_{2} & \dots & x_{1} y_{n} \\ x_{2} y_{1} & x_{2} y_{2} & \dots & x_{2} y_{n} \\ ⋮ & ⋮ & \dots & ⋮ \\ x_{n} y_{1} & x_{n} y_{2} & \dots & x_{n} y_{n} \end{matrix}) \in Mat (R^{n}, R^{n}) .

$x \otimes y = x\, y^\prime = \pmatrix{x_1y_1 & x_1y_2 & \cdots & x_1y_n \\ x_2y_1 & x_2y_2 & \cdots & x_2y_n \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ x_ny_1 & x_ny_2 & \cdots & x_ny_n} \in \operatorname{Mat}\left(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n\right).$

Outra maneira equivalente desvenda os componentes dessa matriz em um vetor com componentes, permitindo visualizar como um elemento de . Observe que a métrica euclidiana para pode ser escrita $n^2$ $x\otimes y$ $\mathbb{R}^{n^2}$ $\mathbb{R}^{n^2}$

\begin{matrix} (1) & | | Z | |^{2} = Tr (Z Z^{'}) . \end{matrix}

$||Z||^2 = \operatorname{Tr}( Z Z^\prime ).\tag{1}$

Ambas são maneiras de escrever a soma dos quadrados de todos os componentes. $n^2$

O produto Kronecker é compatível com as métricas euclidianas de e no sentido de que $E^n$ $E^{n^2}$

| | x \otimes y | |^{2} = | | x | |^{2} | | y | |^{2} .

$||x \otimes y||^2 = ||x||^2\,||y||^2.$

Isso é facilmente demonstrado, porque o lado esquerdo é definido como a soma dos quadrados de todos os enquanto o lado direito é o produto de suas somas de quadrados. Apenas expanda esse produto: $x_i y_j$

| | x \otimes y | |^{2} = \sum_{i} \sum_{j} (x_{i} y_{j})^{2} = (\sum_{i} x_{i}^{2}) (\sum_{j} y_{j}^{2}) = | | x | |^{2} | | y | |^{2} .

$||x \otimes y||^2 = \sum_i\sum_j (x_iy_j)^2 = \left(\sum_i x_i^2\right)\left(\sum_j y_j^2\right) = ||x||^2\,||y||^2.$

Em particular, quando e têm comprimento unitário, possui comprimento unitário. Portanto $x$ $y$ $x \otimes y$

S^{n - 1} \otimes S^{n - 1} \subset S^{n^{2} - 1} .

$S^{n-1}\otimes S^{n-1} \subset S^{n^2-1}.$

Distribuições uniformes

As esferas euclidianas herdam uma medida da medida usual nos espaços euclidianos (a medida de Lebesgue, determinada em última análise pela distância euclidiana). Essa medida é preservada por qualquer isometria de uma esfera, porque (por definição) uma isometria preserva distâncias e a medida é finalmente determinada por distâncias. O grupo de isometrias da esfera unitária em é denotado , o grupo ortogonal. É um resultado clássico, e direto para mostrar, que consiste nas transformações lineares representadas por todas as matrizes para as quais . $\mathbb{R}^m$ $O(m)$ $m\times m$ $P$ $PP^\prime = P^\prime P = \mathbb{I}_m$

O grupo ortogonal atua transitivamente em . (Aqui está uma prova de Euclides poderia ter feito: pegar quaisquer dois pontos distintos e na esfera Desenhe o segmento de linha. entre eles Ela determina uma perpendicular hyperplane única para. que passa pelo ponto médio de A reflexão em que os mapas hiperplano. para si e preserva todas as distâncias, onde é em . isso reflexão trocas de e , que mostra que existe uma transformação ortogonal envio de para ). $O(n)$ $S^{n-1}$ $x$ $y$ $xy$ $xy$ $xy$ $S^{n-1}$ $O(n)$ $x$ $y$ $x$ $y$

Dizer que "os vetores são distribuídos uniformemente em " significa que a distribuição é invariável sob um grupo transitivo de isometrias como . $S^{n-1}$ $O(n)$

Aqui está o argumento: o "hypertorus" desfruta de um grupo transitivo de isometrias isomórficas para um quociente de . De fato, dado um arbitrários e outro , escolha para o qual e . Seja qualquer matriz e defina $S^{n-1}\otimes S^{n-1} \subset S^{n^2-1}$ $O(n)\times O(n)$ $x\otimes y\in S^{n-1}$ $x_2\otimes y_2\in S^{n-1}$ $P,Q\in O(n)$ $Px=x_2$ $Qy=y_2$ $Z=(z_{ij})$ $n\times n$

\begin{matrix} (2) & (P \otimes Q) (Z) = P Z Q^{'} . \end{matrix}

$(P\otimes Q)(Z) = PZQ^\prime.\tag{2}$

Esta é uma isometria porque, usando a fórmula , $(1)$

\begin{aligned} | | (P \otimes Q) (Z) | |^{2} & = Tr ((P Z Q^{'}) (P Z Q^{'})^{'}) = Tr (P Z Z^{'} P^{'}) = Tr (P P^{'} Z Z^{'}) = Tr (Z Z^{'}) \\ = | | Z | |^{2} . \end{aligned}

$\eqalign{ ||(P \otimes Q) (Z)||^2 &= \operatorname{Tr}\left((PZQ^\prime)(PZQ^\prime)^\prime\right) = \operatorname{Tr}\left(PZ Z^\prime P^\prime\right) = \operatorname{Tr}\left(PP^\prime Z Z^\prime \right) = \operatorname{Tr}\left(ZZ^\prime \right) \\ &= ||Z||^2.}$

Estes passos explorada a ortogonalidade de e e o facto de para quaisquer matrizes quadrados e . $P$ $Q$ $\operatorname{Tr}(AB) = \operatorname{Tr}(BA)$ $A$ $B$

Como as isometrias de induzem um grupo transitivo de isometrias de via , a distribuição uniforme (ou seja, invariável ao grupo) em é mapeado para uma distribuição uniforme em , QED . $S^{n-1}$ $S^{n-1}\otimes S^{n-1}$ $(2)$ $S^{n-1}$ $S^{n-1}\otimes S^{n-1}$

whuber
fonte

@ whuber Na sua prova, existem algumas confusões como segue: 1. a mão direita da equação (2) é uma matriz de -by- , como podemos entender a mão esquerda da equação (2)?

n

$n$

n

$n$

Mao-lin Che

2. Por que você precisa escolher e ? Porque no restante do processo, você não usa esses dois vetores.

x_{1} \otimes y_{1}

$x_1\otimes y_1$

x_{2} \otimes y_{2}

$x_2\otimes y_2$

Mao-lin Che

@ A Equação Mao-linChe define seu lado esquerdo. Não sei a que você se refere por " " porque isso não aparece na minha resposta.

(2)

$(2)$

x_{1} \otimes y_{1}

$x_1\otimes y_1$

whuber

@ Whuber eu sou tão sombrio. Quero dizer por que você precisa para definir e . A matriz depende desses vetores?

x \otimes y

$x\otimes y$

x_{1} \otimes y_{1}

$x_1\otimes y_1$

Z

$Z$

Mao-lin Che

@ Mao-linChe Esses quatro vetores determinam parcialmente as matrizes ortogonais e , conforme explicado imediatamente após a introdução desses vetores. não depende deles: isso é o que "nenhum" significa na frase "vamos ser qualquer matriz ...".

P

$P$

Q

$Q$

Z

$Z$

Z

$Z$

n \times n

$n\times n$

whuber

Enquanto e são independentes, então o que você diz é verdade. $x$ $y$

É mais fácil pensar em ângulos em vez de pontos no espaço.

Por exemplo, na esfera 2-D em , podemos gerar pontos uniformemente na superfície dessa esfera, amostrando e independentemente de e considerando-os como zênite e azimute, respectivamente. $\mathbb R^3$ $\theta_1$ $\theta_2$ $U[0,2\pi]$

Assim, podemos pensar em como e como . O KP deles é então e fica claro a partir da construção que segue uma distribuição uniforme também. $x$ $(\theta_1,...,\theta_{n-1}) \sim U[0,2\pi]^{n-1}$ $y$ $(\phi_1,...,\phi_{n-1}) \sim U[0,2\pi]^{n-1}$ $(\theta_1,...,\theta_{n-1},\phi_1,...,\phi_{n-1})$ $U[0,2\pi]^{2n-2}$

JDL
fonte

Este argumento é fundamentalmente falho. O zênite é executado apenas de a e uma distribuição uniforme na esfera induz uma distribuição não uniforme do zênite. (Em , seu seno tem uma distribuição uniforme.) Consulte stats.stackexchange.com/questions/7977 para obter detalhes.

- π / 2

$-\pi/2$

π / 2

$\pi/2$

R^{3}

$\mathbb{R}^3$

whuber

Estamos lidando com a superfície da esfera ou com todo o volume? Eu estava assumindo o primeiro.

JDL

Isso está correto: é implicitamente identificado com o conjunto de vetores de unidades em .

S_{n - 1}

$S_{n-1}$

R^{n}

$\mathbb{R}^n$

whuber

@whuber; você está certo! D'oh. Ainda acho que a pergunta é mais ou menos trivialmente verdadeira. O produto kronecker de duas distribuições uniformes independentes só pode ser uniforme no conjunto de produtos.

JDL

@JDL você já tentou hist(runif(5000) %x% runif(5000))..?

Tim

A distribuição para o produto Kronecker de dois vetores aleatórios uniformes na esfera unitária?

Respostas:

O produto Kronecker

Distribuições uniformes