Da distribuição uniforme à distribuição exponencial e vice-versa

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Esta é provavelmente uma questão trivial, mas minha busca foi infrutífera até agora, incluindo este artigo wikipedia , e o "Compêndio de Distribuições" documento .

Se tem uma distribuição uniforme, significa que segue uma distribuição exponencial?XeX

Da mesma forma, se segue uma distribuição exponencial, significa que segue uma distribuição uniforme?Yln(Y)

luchonacho
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Por que você esperaria que fosse assim? Por causa do nome? Verifique en.wikipedia.org/wiki/… para ver como outras distribuições estão relacionadas à exponencial. Também ...exp(X)[0,)
Tim
Não, acho que estou seguindo analogias com transformações de funções padrão, esquecendo que com distribuições as coisas são diferentes.
luchonacho 12/09/16

Respostas:

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Não é o caso que a exponenciação de uma variável aleatória uniforme fornece uma exponencial, nem o registro de uma variável aleatória exponencial produz um uniforme.

Seja U uniforme em (0,1) e seja X=exp(U) .

FX(x)=P(Xx)=P(exp(U)x)=P(Ulnx)=lnx,1<x<e

Então .fx(x)=ddxlnx=1x,1<x<e

Esta não é uma variável exponencial. Um cálculo semelhante mostra que o log de um exponencial não é uniforme.

Seja exponencial padrão, então F Y ( y ) = P ( Y y ) = 1 - e - yY .FY(y)=P(Yy)=1ey,y>0

Vamos . Então F V ( v ) = P ( V v ) = P ( ln Y v ) = P ( Y e v ) = 1 - e - e vV=lnY .FV(v)=P(Vv)=P(lnYv)=P(Yev)=1eev,v<0

Isto não é uniforme. (De fato é uma variável aleatória distribuída por Gumbel , então você pode chamar a distribuição de V de 'Gumbel invertido'.)VV

No entanto, em cada caso, podemos vê-lo mais rapidamente, simplesmente considerando os limites das variáveis ​​aleatórias. Se é uniforme (0,1), fica entre 0 e 1, então X = exp ( U ) fica entre 1 e e ..., portanto, não é exponencial. Da mesma forma, para Y exponencial, ln Y está ativado ( - , ) , de modo que não pode ser uniforme (0,1), nem mesmo qualquer outro uniforme.UX=exp(U)1eYlnY(,)

Também poderíamos simular e novamente vê-lo imediatamente:

Primeiro, exponenciando um uniforme -

histograma de uniforme exponenciado com a densidade teórica sobreposta

[a curva azul é a densidade (1 / x no intervalo indicado) que trabalhamos acima ...]

Segundo, o log de um exponencial:

histograma do log de uma variável exponencial

O que podemos ver está longe de ser uniforme! (Se diferenciarmos o cdf que elaboramos antes, o que daria a densidade, ele corresponderá à forma que vemos aqui.)

De fato, o método inverso cdf indica que tomar o negativo do logaritmo de uma variável uniforme (0,1) fornece uma variável exponencial padrão e, inversamente, exponenciar o negativo de uma exponencial padrão dá um uniforme. [Veja também transformação integral de probabilidade ]

U=FY(Y)Y=F1(U)UFY

Se deixarmos ser uniforme (0,1), então P ( U u ) = u . Seja Y = - ln ( 1 - U ) . (Observe que 1 - U também é uniforme em (0,1), então você pode realmente deixar Y = - ln U , mas estamos seguindo o método inverso do cdf aqui por completo)UP(Uu)=uY=ln(1U)1UY=lnU

Então , o que é o cdf de um exponencial padrão.P(Yy)=P(ln(1U)y)=P(1Uey)=P(U1ey)=1ey

[Essa propriedade da transformação inversa de cdf é o motivo pelo qual a transformação de é realmente necessária para obter uma distribuição exponencial, e a transformação integral de probabilidade é o motivo pelo qual a exponenciação do negativo de um exponencial negativo volta a um uniforme.]log

Glen_b -Reinstate Monica
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Ótima resposta! Obrigado. Eu vejo agora. Calculei o CDF em ambos os casos e recebo o negativo do log no primeiro caso e o valor absoluto de um inverso, no último. Penso que a minha confusão está em pensar em termos de transformações de funções padrão, que não ocorrem quando se trata de distribuições. +1 para os gráficos!
luchonacho 12/09/16
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Você quase tem de volta para a frente. Você perguntou:

  • "Se tem uma distribuição uniforme, isso significa que e X segue uma distribuição exponencial?"XeX

  • "Da mesma forma, se segue uma distribuição exponencial, significa que ln ( Y ) segue uma distribuição uniforme?"Yln(Y)

De fato

  • X[0,1]loge(X)1
  • Y1eY[0,1]

Em geral, você poderia dizer:

  • X[a,b] then 1kloge(Xaba) follows an exponential distribution with rate parameter k
  • if Y follows an exponential distribution with rate parameter k then ekY has a uniform distribution on [0,1] while a+(ba)ekY has a uniform distribution on [a,b]
Henry
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