Dois quantis de uma distribuição beta determinam seus parâmetros?

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Se eu der dois quantis (q1,q2) e seus locais correspondentes (l1,l2) (cada) no intervalo aberto (0,1) , posso sempre encontrar parâmetros de uma distribuição beta que tenha esses quantis em os locais especificados?

Bota
fonte
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Não, contra-exemplo básico (q1, q2) = (0,1) e (l1, l2) = (0,1), independentemente dos parâmetros.
Tim
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@ Tim Acho que entendi seu ponto, mas seu contra-exemplo não atende às condições especificadas (por exemplo, que os locais estão no intervalo aberto (0,1) ).
Bota
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Eu acho que você pode fazer isso numericamente (e que haverá uma solução única), mas isso envolveria um pouco de esforço.
Glen_b -Reinstate Monica 20/09/16
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Eu também acho - a solução numérica não é difícil, mas não é fácil encontrar um argumento para a singularidade.
Elvis
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@Elvis na verdade, eu suspeito que pode haver uma maneira de fazê-lo, olhando para os logits de ambas as variáveis (do OP e q ). lq
Glen_b -Reinstala Monica

Respostas:

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A resposta é sim, desde que os dados atendam aos requisitos óbvios de consistência. O argumento é direto, baseado em uma construção simples, mas requer alguma configuração. Tudo se resume a um fato intuitivamente atraente: aumentar o parâmetro a em uma distribuição Beta (a,b) aumenta o valor de sua densidade (PDF) mais para x maior que x menor ; e aumentar b faz o oposto: quanto menor x , maior o valor do PDF.

Os detalhes a seguir.


Seja o quantil q1 desejado x1 e o quantil q2 desejado seja x2 com 1>q2>q1>0 e (portanto) 1>x2>x1>0 . Depois,existema eb exclusivospara os quais adistribuiçãoBeta(a,b) possui esses quantis.

A dificuldade em demonstrar isso é que a distribuição Beta envolve uma constante normalizadora recalcitrante. Lembre-se da definição: para a>0 e b>0 , o Beta (a,b) distribuição tem uma função de densidade (PDF)

f(x;a,b)=1B(a,b)xa1(1x)b1.

A constante de normalização é a função Beta

B(a,b)=01xa1(1x)b1dx=Γ(a)Γ(b)Γ(a+b).

Tudo fica confuso se tentarmos diferenciar f(x;a,b) diretamente em relação aa eb , que seria a maneira da força bruta de tentar uma demonstração.

Uma maneira de evitar a necessidade de analisar a função Beta é observar que os quantis são áreas relativas . Isso é,

qi=F(xi;a,b)=0xif(x;a,b)dx01f(x;a,b)dx

para i=1,2 . Aqui, por exemplo, estão o PDF e a função de distribuição cumulativa (CDF) F de uma distribuição Beta (1.15,0.57) para a qual x1=1/3 eq1=1/6 .

figura 1

A função de densidade xf(x;a,b) é plotada à esquerda. q1 é a área sob a curva à esquerda de x1 , mostrada em vermelho, relativa à área total sob a curva. q2 é a área à esquerda de x2 , igual à soma das regiões vermelha e azul, novamente em relação à área total . O CDF à direita mostra como(x1,q1) e(x2,q2) marque dois pontos distintos nele.

Nesta figura, (x1,q1) foi fixada em (1/3,1/6) , a foi seleccionado para ser 1.15 , e, em seguida, um valor de b foi encontrado para que (x1,q1) encontra-se em o CDF Beta (a,b) .

Lema : Esse b sempre pode ser encontrado.

Para ser específico, deixe (x1,q1) ser corrigido de uma vez por todas. (Eles permanecem os mesmos nas ilustrações a seguir: nos três casos, a área relativa à esquerda de x1 é igual a q1 ) Para qualquer a>0 , o Lemma afirma que há um valor único de b , escrito b(a), para o qual x1 é oq1quantil q 1 do Beta(a,b(a)) distribuição.

Para ver o porquê, observe primeiro que, quando b aproxima de zero, toda a probabilidade se acumula perto dos valores de 0 , onde F(x1;a,b) aproxima de 1 . À medida que b aproxima do infinito, toda a probabilidade se aproxima dos valores de 1 , onde F(x1;a,b) aproxima de 0 . No meio, a função bF(x1;a,b)está aumentando estritamente em b .

Essa afirmação é geometricamente óbvia: equivale a dizer que, se olharmos para a área à esquerda sob a curva xxa1(1x)b1 relação à área total sob a curva e compará-la com a área relativa sob a curva xxa1(1x)b1 para b > b , a última área é relativamente maior. A proporção dessas duas funções é ( 1 - x ) b - b . Esta é uma função igual a 1 quandob>b(1x)bb1x=0, caindo constantemente para0 quandox=1. Portanto, as alturas da funçãoxf(x;a,b) sãorelativamente maioresque as alturas dexf(x;a,b) parax à esquerda dex1 do que são parax à direita dex1. Conseqüentemente, aáreaà esquerda dex1 na primeira deve serrelativamentemaior que a área à direita dex1. (Isso é fácil de traduzir em um argumento rigoroso usando uma soma de Riemann, por exemplo.)

Vimos que a função bf(x1;a,b) está aumentando estritamente monotonicamente com valores-limite em 0 e 1 como b0 e b, respectivamente. Também é (claramente) contínuo. Conseqüentemente, existe um número b(a) onde f(x1;a,b(a))=q1 e esse número é único, comprovando o lema.

O mesmo argumento mostra que, à medida que b aumenta, a área à esquerda de x2 aumenta. Consequentemente, os valores de f(x2;a,b(a)) variam ao longo de algum intervalo de números à medida que a progride de quase 0 a quase . O limite de f(x2;a,b(a)) como a0 é q1.

Aqui está um exemplo em que a é próximo de 0 (é igual a 0.1 ). Com x1=1/3 e q1=1/6 (como na figura anterior), b(a)0.02. Quase não há área entre x1 e x2:

Figura 2

O CDF é praticamente plano entre x1 e x2, onde q2 está praticamente no topo de q1. No limite de a0 ,q2q1.

No outro extremo, valores suficientemente grandes de a derivação para F(x2;a,b(a)) arbitrariamente próximos de 1. Aqui está um exemplo com (x1,q1) como antes.

Figura 3

Aqui a=8 e b(a) é cerca de 10. Agora F(x2;a,b(a)) é essencialmente 1: não há quase nenhuma área à direita dex2.

Conseqüentemente, você pode selecionar qualquer q2 entre q1 e 1 e ajustar a até F(x2;a,a(b))=q2. Assim como antes, estea deve ser único,QED.


O Rcódigo de trabalho para encontrar soluções é publicado em Determinando os parâmetros de distribuição beta α e partir de dois pontos arbitrários (quantis)β .

whuber
fonte
Essa resposta mostra que, se escolhermos um ou b fixo , encontraremos um valor correspondente exclusivo. Seria possível construir funções que tenham uma área fixa em [ 0 , x 1 ] , [ x 1 , x 2 ] e [ x 2 , 1 ] . Não vejo imediatamente por que isso garantiria que o conjunto de α e β seja único. Você estaria disposto a me elaborar e me esclarecer? ab[0,x1][x1,x2][x2,1]αβ
Jan
@ Jan Poderia explicar o que você quer dizer com "conjunto de e β "? Esses símbolos não aparecem em nenhum lugar deste segmento. αβ
whuber