Se eu der dois quantis e seus locais correspondentes (cada) no intervalo aberto , posso sempre encontrar parâmetros de uma distribuição beta que tenha esses quantis em os locais especificados?
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Se eu der dois quantis e seus locais correspondentes (cada) no intervalo aberto , posso sempre encontrar parâmetros de uma distribuição beta que tenha esses quantis em os locais especificados?
Respostas:
A resposta é sim, desde que os dados atendam aos requisitos óbvios de consistência. O argumento é direto, baseado em uma construção simples, mas requer alguma configuração. Tudo se resume a um fato intuitivamente atraente: aumentar o parâmetroa em uma distribuição Beta (a,b) aumenta o valor de sua densidade (PDF) mais para x maior que x menor ; e aumentar b faz o oposto: quanto menor x , maior o valor do PDF.
Os detalhes a seguir.
A dificuldade em demonstrar isso é que a distribuição Beta envolve uma constante normalizadora recalcitrante. Lembre-se da definição: paraa>0 e b>0 , o Beta ( a , b ) distribuição tem uma função de densidade (PDF)
A constante de normalização é a função Beta
Tudo fica confuso se tentarmos diferenciarf( x ; a , b ) diretamente em relação auma eb , que seria a maneira da força bruta de tentar uma demonstração.
Uma maneira de evitar a necessidade de analisar a função Beta é observar que os quantis são áreas relativas . Isso é,
parai = 1 , 2 . Aqui, por exemplo, estão o PDF e a função de distribuição cumulativa (CDF) F de uma distribuição Beta ( 1,15 , 0,57 ) para a qual x1 1= 1 / 3 eq1 1= 1 / 6 .
A função de densidadex → f( x ; a , b ) é plotada à esquerda. q1 1 é a área sob a curva à esquerda de x1 1 , mostrada em vermelho, relativa à área total sob a curva. q2 é a área à esquerda de x2 , igual à soma das regiões vermelha e azul, novamente em relação à área total . O CDF à direita mostra como( x1 1, q1 1) e( x2, q2) marque dois pontos distintos nele.
Nesta figura,( x1 1, q1 1) foi fixada em ( 1 / 3 , 1 / 6 ) , uma foi seleccionado para ser 1,15 , e, em seguida, um valor de b foi encontrado para que ( x1 1, q1 1) encontra-se em o CDF Beta ( a , b ) .
Lema : Esseb sempre pode ser encontrado.
Para ser específico, deixe( x1 1, q1 1) ser corrigido de uma vez por todas. (Eles permanecem os mesmos nas ilustrações a seguir: nos três casos, a área relativa à esquerda de x1 1 é igual a q1 1 ) Para qualquer a > 0 , o Lemma afirma que há um valor único de b , escrito b ( um ) , para o qual x1 1 é oq1 1 quantil q 1 do Beta(a,b(a)) distribuição.
Para ver o porquê, observe primeiro que, quandob aproxima de zero, toda a probabilidade se acumula perto dos valores de 0 , onde F(x1;a,b) aproxima de 1 . À medida que b aproxima do infinito, toda a probabilidade se aproxima dos valores de 1 , onde F(x1;a,b) aproxima de 0 . No meio, a função b→F(x1;a,b) está aumentando estritamente em b .
Essa afirmação é geometricamente óbvia: equivale a dizer que, se olharmos para a área à esquerda sob a curvax→xa−1(1−x)b−1 relação à área total sob a curva e compará-la com a área relativa sob a curva x→xa−1(1−x)b′−1 para b ′ > b , a última área é relativamente maior. A proporção dessas duas funções é ( 1 - x ) b ′ - b . Esta é uma função igual a 1 quandob′>b (1−x)b′−b 1 x=0, caindo constantemente para0 quandox=1. Portanto, as alturas da funçãox → f( x ; a , b′) sãorelativamente maioresque as alturas dex → f( x ; a , b ) parax à esquerda dex1 1 do que são parax à direita dex1 1. Conseqüentemente, aáreaà esquerda dex1 1 na primeira deve serrelativamentemaior que a área à direita dex1 1. (Isso é fácil de traduzir em um argumento rigoroso usando uma soma de Riemann, por exemplo.)
Vimos que a funçãob → f( x1 1; a , b ) está aumentando estritamente monotonicamente com valores-limite em 0 0 e 1 1 como b → 0 e b → ∞ , respectivamente. Também é (claramente) contínuo. Conseqüentemente, existe um número b ( a ) onde f( x1 1; a , b ( a ) ) = q1 1 e esse número é único, comprovando o lema.
O mesmo argumento mostra que, à medida queb aumenta, a área à esquerda de x2 aumenta. Consequentemente, os valores de f( x2; a , b ( a ) ) variam ao longo de algum intervalo de números à medida que uma progride de quase 0 0 a quase ∞ . O limite de f( x2; a , b ( a ) ) como a → 0 é q1 1.
Aqui está um exemplo em queuma é próximo de 0 0 (é igual a 0,1 ). Com x1 1= 1 / 3 e q1 1= 1 / 6 (como na figura anterior), b(a)≈0.02. Quase não há área entre x1 e x2:
O CDF é praticamente plano entrex1 1 e x2, onde q2 está praticamente no topo de q1 1. No limite de a → 0 ,q2→ q1 1.
No outro extremo, valores suficientemente grandes deuma derivação para F( x2; a , b ( a ) ) arbitrariamente próximos de 1 Aqui está um exemplo com ( x1 1, q1 1) como antes.
Aquia = 8 e b ( a ) é cerca de 10) Agora F( x2; a , b ( a ) ) é essencialmente 1 : não há quase nenhuma área à direita dex2.
Conseqüentemente, você pode selecionar qualquerq2 entre q1 e 1 e ajustar a até F(x2;a,a(b))=q2. Assim como antes, estea deve ser único,QED.
Oα e partir de dois pontos arbitrários (quantis)β .
R
código de trabalho para encontrar soluções é publicado em Determinando os parâmetros de distribuição betafonte