Qual é a fórmula para o valor p ajustado de Benjamini-Hochberg?

Eu entendo o procedimento e o que ele controla. Então, qual é a fórmula para o valor de p ajustado no procedimento BH para comparações múltiplas?

Só agora eu percebi que o BH original não produzia valores p ajustados, apenas ajustava a condição de (não) rejeição: https://www.jstor.org/stable/2346101 . Gordon Smyth introduziu valores de BH ajustados em 2002 de qualquer maneira, então a questão ainda se aplica. É implementado em R como p.adjustcom o método BH.

O famoso artigo de Benjamini & Hochberg (1995) descreveu o procedimento para aceitar / rejeitar hipóteses com base no ajuste dos níveis de alfa. Esse procedimento possui uma reformulação equivalente direta em termos de valores de ajustados , mas não foi discutido no artigo original. De acordo com Gordon Smyth , ele introduziu valores de ajustados em 2002 ao implementar em R. Infelizmente, não há citação correspondente; portanto, sempre ficou claro para mim o que se deve citar se usar valores de ajustados para BH.$p$$p$p.adjust$p$

Acontece que o procedimento é descrito em Benjamini, Heller, Yekutieli (2009) :

Uma maneira alternativa de apresentar os resultados desse procedimento é apresentar os valores de ajustados . Os valores ajustados para BH são definidos como$p$$p$

$$p^\mathrm{BH}_{(i)} = \min\Big\{\min_{j\ge i}\big\{\frac{mp_{(j)}}{j}\big\},1\Big\}.$$

Essa fórmula parece mais complicada do que realmente é. Diz:

1. Primeiro, encomende todos os valores de pequeno a grande. Em seguida, multiplicar cada -valor pelo número total de testes e dividir por sua ordem de classificação.$p$$p$$m$
2. Segundo, certifique-se de que a sequência resultante não diminua: se ela começar a diminuir, faça o valor anterior igual ao subsequente (repetidamente, até que toda a sequência se torne não decrescente).$p$
3. Se qualquer valor- maior que 1, faça-o igual a 1.$p$

Essa é uma reformulação direta do procedimento original de BH de 1995. Pode haver um artigo anterior que introduzisse explicitamente o conceito de valores de ajustados por BH, mas não tenho conhecimento de nenhum.$p$

Atualizar. A @Zenit descobriu que Yekutieli & Benjamini (1999) descreviam a mesma coisa já em 1999:

$p_0$$p$$z_0$$N_0$$\le$ $p_0$$N$

• $\text{FDR }(p_0) = \frac{\quad p_0 \quad }{\frac{N_0}{N}}$

• $\text{FDR }(p_i) = \min (\text{FDR}(p_i), \text{FDR}(p_{i+1}))$

Agora vamos entender isso. A ideia subjacente (bayesiana) é que as observações provêm de uma mistura de duas distribuições:

• $\pi_0 \: N$$f_0(z)$
• $(1-\pi_0) \: N$$f_1(z)$

O que se observa é a mistura desses dois:

• $f(z) = \pi_0 \cdot f_0(z) + (1-\pi_0) \cdot f_1(z)$

As definições (bayesianas) são:

• $\text{Fdr} = \frac{\pi_0 \: (1-F_0(z_0))}{(1-F(z))}$
• $\text{fdr} = \frac{\pi_0 \: f_0(z_0)}{f(z)}$

$\pi_0 \approx 1$

(Baseado na inferência estatística da era computacional de Efron e Tibshirani )