Estatística matemática (momentos vs. momentos centrais)

Se (não necessariamente ser um inteiro), então como provar que a momento crua existe se e somente se o existe momento central? Acho que tenho que aplicar alguma desigualdade, mas não consigo descobrir.$r \ge 1$$r^\text{th}$$r^\text{th}$

Duas propriedades salientes de números reais e são$x, y,$$\mu$

1. As desigualdades do triânguloe

   $$|x-\mu| \le |x|+|\mu|$$ $$|x| \le |x-\mu| + |\mu|.$$

2. Aumentar a potência para preserva a ordem: e (portanto)$r$$r \gt 0$

   $$|x| \le |y| \text{ implies } |x|^r \le |y|^r$$ $$\max(|x|^r, |y|^r) = \max(|x|,|y|)^r.$$

Observe também o relacionamento simples

$$|x| + |y| \le 2\max(|x|, |y|).$$

Conseqüentemente, para qualquer variável aleatória e número real ,$X$$\mu$

$$|X-\mu|^r \le \left(|X| + |\mu|\right)^r \le \left(2\max\left(|X|, |\mu|\right)\right)^r = 2^r\max\left(|X|^r, |\mu|^r\right)$$

e

$$|X|^r \le \left(|X-\mu| + |\mu|\right)^r \le \cdots \le 2^r\max\left(|X-\mu|^r, |\mu|^r\right).$$

Deixar e assumir expectativas estabelece as desigualdades necessárias.$\mu = \mathbb{E}(X)$