Representação espacial do estado de ARMA (p, q) de Hamilton

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Eu tenho lido o capítulo 13 de Hamilton e ele tem a seguinte representação de espaço de estado para um ARMA (p, q). Seja Depois, o processo ARMA (p, q) é o seguinte: \ begin {alinhado} y_t - \ mu & = \ phi_1 (y_ {t-1} - \ mu) + \ phi_2 (y_ {t-2} - \ mu) + ... + \ phi_3 (y_ {t-3} - \ mu) \\ & + \ epsilon_t + \ theta_1 \ epsilon_ {t-1} +. .. + \ theta_ {r-1} \ epsilon_ {t-r + 1}. \ end {align} Em seguida, ele define a equação do estado da seguinte maneira:r=max(p,q+1)

ytμ=ϕ1(yt1μ)+ϕ2(yt2μ)+...+ϕ3(yt3μ)+ϵt+θ1ϵt1+...+θr1ϵtr+1.

ξt+1=[ϕ1ϕ2ϕr1ϕr1000000010]ξt+[ϵt+100]

e a equação de observação como:

yt=μ+[1θ1θ2θr1]ξt.

Eu não entendo o que é o ξt neste caso. Porque em sua representação AR (p) é [ytμyt1μytp+1μ] e em sua representação MA (1) é [ϵtϵt1] .

Alguém poderia me explicar um pouco melhor?

dleal
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Respostas:

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Hamilton mostra que esta é uma representação correta no livro, mas a abordagem pode parecer um pouco contra-intuitiva. Deixe-me, portanto, primeiro dar uma resposta de alto nível que motive sua escolha de modelagem e depois elaborar um pouco sobre sua derivação.

Motivação :

Como deve ficar claro na leitura do Capítulo 13, há muitas maneiras de escrever um modelo dinâmico na forma de espaço de estado. Devemos, portanto, perguntar por que Hamilton escolheu essa representação específica. O motivo é que essa representação mantém baixa a dimensionalidade do vetor de estado. Intuitivamente, você pensaria (ou pelo menos eu pensaria) que o vetor de estado para um ARMA ( , ) precisa ter pelo menos a dimensão . Afinal, apenas observando digamos , não podemos inferir o valor de . No entanto, ele mostra que podemos definir a representação do espaço de estados de uma maneira inteligente que deixa o vetor de estado da dimensão de no máximopqp+qyt1ϵt1r=max{p,q+1}. Manter a dimensionalidade do estado baixa pode ser importante para a implementação computacional, eu acho. Acontece que sua representação no espaço de estados também oferece uma boa interpretação de um processo ARMA: o estado não observado é um AR ( ), enquanto a parte MA ( ) surge devido a um erro de medição.pq

Derivação :

Agora para a derivação. Observe primeiro que, usando a notação do operador lag, o ARMA (p, q) é definido como: onde deixamos para , e para e omitimos pois é pelo menos . Então, tudo o que precisamos mostrar é que suas equações de estado e observação implicam a equação acima. Seja o vetor de estado Agora observe o equação de estado. Você pode verificar se as equações a

(1ϕ1LϕrLr)(ytμ)=(1+θ1L++θr1Lr1)ϵt
ϕj=0j>pθj=0j>qθrrq+1
ξt={ξ1,t,ξ2,t,,ξr,t}
2rbasta mover as entradas para um período à frente e descartar no vetor de estado em . A primeira equação, definindo é, portanto, a relevante. Escrevendo: Como o segundo elemento de é o primeiro elemento de e o terceiro elemento de é o primeiro elemento deξi,tξi1,t+1ξr,tt+1ξi,t+1
ξ1,t+1=ϕ1ξ1,t+ϕ2ξ2,t++ϕrξr,t+ϵt+1
ξtξt1ξtξt2e assim por diante, podemos reescrever isso, usando a notação de operador lag e movendo o polinômio lag para o lado esquerdo (equação 13.1.24 em H.): Portanto, o estado oculto segue um processo autoregressivo. Da mesma forma, a equação de observação é ou Isso não parece muito com um ARMA até agora, mas agora vem o parte agradável: multiplique a última equação por :
(1ϕ1LϕrLr)ξ1,t+1=ϵt+1
yt=μ+ξ1,t+θ1ξ2,t++θr1ξr1,t
ytμ=(1+θ1L++θr1Lr1)ξ1,t
(1ϕ1LϕrLr)
(1ϕ1LϕrLr)(ytμ)=(1+θ1L++θr1Lr1)(1ϕ1LϕrLr)yt
Mas, a partir da equação do estado (atrasada em um período), temos ! Portanto, o acima é equivalente a que é exatamente o que precisamos mostrar! Portanto, o sistema de observação de estado representa corretamente o ARMA (p, q). Eu estava realmente parafraseando Hamilton, mas espero que seja útil de qualquer maneira.(1ϕ1LϕrLr)ξ1,t=ϵt
(1ϕ1LϕrLr)(ytμ)=(1+θ1L++θr1Lr1)ϵt
Matthias Schmidtblaicher
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Eu não sou totalmente vendido na interpretação do estado, no entanto. Quando você escreve a primeira linha da equação de transição de estado, parece uma equação que entra em conflito com o modelo assumido. Também acho estranho que você assuma que os dados observados estão ao mesmo tempo ocultos / latentes.
Taylor
Você está certo, o estado não é realmente o mesmo que . Obrigado por apontar isso. Eu o corrigi, deve ficar bem agora. Btw, em geral, poderíamos ter observado variáveis ​​no vetor de estado, veja, por exemplo, o exemplo de AR (p). Lá, a variável oculta pode ser considerada como o valor do próximo período, . ytyt+1
Matthias Schmidtblaicher
Obrigado! Mas eu al ainda confuso quanto ao que É neste espaço de estados. Não por exemplo, sua definição de nas equações 13.1.15 e 13.1.14 para os processos AR (p) e MA (1). Minha confusão é que, se eu colocar isso no matlab, em que números estou recebendo ? ξξξ
dleal
O que é confuso aqui é que a modelagem do espaço de estado se preocupa com um estado oculto, enquanto nos processos ARMA não pensamos nas variáveis ​​ocultas. A representação do espaço de estados e as técnicas de Filtragem (Kalman) são motivadas filtrando o estado não observado. Para processos ARMA, usamos apenas a formulação de modelos de espaço de estado para que possamos estimar os parâmetros usando o Kalman Filter. Portanto, definimos arbitrariamente o estado oculto em 13.1.4 como observação do próximo período enquanto em 13.1.22, o estado é uma nova variável que não aparece no modelo original. yt+1
Matthias Schmidtblaicher 11/02
Para responder sua pergunta sobre o Matlab: se você começar com um ARMA (p, q), o não é uma variável que aparece nesse modelo. No entanto, a representação do espaço de estados realmente oferece uma interpretação diferente do ARMA (p, q): o estado oculto pode ser a variável na qual você está interessado e a estrutura MA (q) surge devido a um erro de medição. Você pode anotar um AR (1) e adicionar algum ruído branco para ver que uma estrutura ARMA surge. ξ
Matthias Schmidtblaicher 11/02
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É o mesmo que acima, mas pensei em fornecer uma resposta mais curta e concisa. Novamente, esta é a representação de Hamilton para um processo causal de ARMA ( , ), em que . Esse número será a dimensão do vetor de estado e é necessário fazer o número de linhas do O estado corresponde ao número de colunas da matriz de observação. Isso significa que também precisamos definir coeficientes para zero sempre que o índice for muito grande.pqr=max(p,q+1)r(ξt,ξt1,,ξtr+1)

  1. Equação de observação

ϕ(B)(ytμ)=θ(B)ϵt(causality)(ytμ)=ϕ1(B)θ(B)ϵtyt=μ+ϕ1(B)θ(B)ϵtyt=μ+θ(B)ϕ1(B)ϵt(letting ξt=ϕ1(B)ϵt)yt=μ+θ(B)ξt(this is where we need r)yt=μ+[1θ1θ2θr1][ξtξt1ξtr+1]the state vector+0.
  1. Equação de Estado

ξt=ϕ1(B)ϵtϕ(B)ξt=ϵt(1ϕ1BϕrBr)ξt=ϵtξt=ϕ1ξt1++ϕrξtr+ϵt[ξtξt1ξt2ξtr+1]=[ϕ1ϕ2ϕ3ϕr1000010000010][ξt1ξt2ξtr]+[ϵt00].
Taylor
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Isso finalmente deixa claro de onde vêm essas equações de estado. Eu acho que declarar assim é didaticamente muito melhor do que apenas dar essas equações aleatórias com a nota de que tudo está certo.
2828 Alex
@ CowboyTrader sim, está certo. Pelo menos para esta representação ARMA. Existem outros.
Taylor
@ CowboyTrader não, mas eu diria que esse é um sentimento sensato, porque a literatura sobre modelos de espaço de estado é tendenciosa para a filtragem. Existem equações de previsão recursiva para modelos de espaço de estados gaussianos lineares, mas você recebe o material de filtragem como um bônus adicional.
Taylor
@CowboyTrader fique à vontade para me enviar um e-mail. Sei que nem todo mundo adora discussões prolongadas nos comentários, por isso pode ser mais fácil fazer isso.
Taylor
Vejo que está provado, mas você poderia ajudar a dar alguma intuição? Quais são as variáveis ​​de estado, qual é o vetor de estado t = 0?
24719 Frank