O que é uma "Informação da Unidade Anterior"?

Eu tenho lido Wagenmakers (2007) Uma solução prática para o problema generalizado dos valores de p . Estou intrigado com a conversão dos valores BIC em fatores e probabilidades de Bayes. No entanto, até agora não tenho uma boa compreensão do que exatamente é uma informação de unidade anterior . Ficaria muito grato por uma explicação com figuras, ou o código R para gerar figuras, desse particular em particular.

A informação anterior da unidade é uma prévia dependente de dados (normalmente Normal multivariada) com média no MLE e precisão igual à informação fornecida por uma observação. Veja, por exemplo, este relatório técnico ou este documento para obter detalhes completos. A idéia do UIP é fornecer um prior que 'permita que os dados falem por si'; na maioria dos casos, a adição de prior que informa sobre uma observação centralizada onde os outros dados estão 'apontando' terá pouco impacto na análise subsequente. Um de seus principais usos é mostrar que o uso de BIC corresponde, em grandes amostras, ao uso de fatores Bayes, com UIPs em seus parâmetros.

Provavelmente também vale a pena notar que muitos estatísticos (incluindo bayesianos) não se sentem à vontade com o uso dos fatores de Bayes e / ou BIC, para muitos problemas aplicados.

As informações da unidade anteriores são baseadas na seguinte interpretação da conjugação:

Configuração

• Dados normais: com com desconhecido e conhecido. Os dados podem então ser suficientemente resumidos pela média da amostra, que antes de qualquer dado ser visto é distribuída de acordo com .$X^{n}=(X_{1}, \ldots, X_{n})$$X_{i} \sim \mathcal{N}( \mu, \sigma^{2})$$\mu$$\sigma^2$$\bar{X} \sim \mathcal{N}(\mu, \tfrac{\sigma^{2}}{n} )$
• Normal anterior para :$\mu$ com com a mesma variação dos dados.$\mu \sim \mathcal{N} (a, \sigma^{2})$
• Normal posterior para :$\mu$ Com onde e .$\mu \sim \mathcal{N} (M, v)$v=σ$M=\tfrac{1}{n+1}(a + n \bar{x})$$v= \tfrac{\sigma^2}{n+1}$

Interpretação

Portanto, depois de observar os dados , temos um for posterior que concentra-se em uma combinação convexa da observação e o que foi postulado antes da observação dos dados, que é, . Além disso, a variação de posterior é dada por , portanto, como se tivéssemos observações em vez de u ˉ x um σ $\bar{X}=\bar{x}$$\mu$$\bar{x}$$a$ n+1n ˉ x$\tfrac{\sigma^{2}}{n+1}$$n+1$$n$comparou a distribuição amostral da média amostral. Observe que uma distribuição amostral não é a mesma que uma distribuição posterior. No entanto, o tipo posterior parece com ele, permitindo que os dados falem por si mesmos. Assim, com a informação de unidade de uma prévia recebe uma posterior que é principalmente concentrada sobre os dados, , e encolhido para a informação prévia como um one-off penalidade.$\bar{x}$$a$

Kass e Wasserman, além disso, mostraram que a seleção do modelo versus com o dado anteriormente acima pode ser bem aproximada com o critério de Schwartz (basicamente, BIC / 2) quando for grande.H 1 : μ ∈ R$M_{0}:\mu=a$$M_{1}: \mu \in \mathbf{R}$$n$

Algumas observações:

• O fato de o BIC aproximar um fator de Bayes com base em uma informação de unidade anterior, não implica que devemos usar uma informação de unidade antes de construir um fator de Bayes. A escolha padrão de Jeffreys (1961) é usar um Cauchy anterior no tamanho do efeito, veja também Ly et al. (no prelo) para uma explicação sobre a escolha de Jeffreys.
• Kass e Wasserman mostraram que o BIC dividido por uma constante (que relaciona o Cauchy a uma distribuição normal) ainda pode ser usado como uma aproximação do fator Bayes (desta vez com base no Cauchy anterior em vez de no normal).

Referências

• Jeffreys, H. (1961). Teoria da Probabilidade . Oxford University Press, Oxford, Reino Unido, 3 edição.
• Kass, RE e Wasserman, L. (1995). "Um teste bayesiano de referência para hipóteses aninhadas e sua relação com o critério Schwarz", Jornal da Associação Estatística Americana , 90, 928-934
• Ly, A., Verhagen, AJ, & Wagenmakers, E.-J. (no prelo). Testes de hipóteses padrão do fator Bayes de Harold Jeffreys: explicação, extensão e aplicação em psicologia. Jornal de Psicologia Matemática.