A média harmônica minimiza a soma dos erros relativos ao quadrado

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Eu estou procurando uma referência onde está provado que a média harmônica

x¯h=nEu=1n1xEu

minimiza (em ) a soma dos erros relativos ao quadradoz

Eu=1n((xEu-z)2xEu).
Martin Van der Linden
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Respostas:

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Por que você precisa de uma referência? Este é um problema simples de cálculo: para que o problema que você o formulou faça sentido, devemos assumir que todos . Em seguida, defina a função Depois calcule a derivada em relação a : e a resolução da equação fornece a solução. Agora, é claro que devemos verificar se isso é realmente mínimo, para que calcule a segunda derivada: para a última desigualdade que usamos, finalmente, que todosf ( z ) = n i = 1 ( x i - z ) 2xEu>0 0 zf(z)=-2n i=1(1-z

f(z)=Eu=1n(xEu-z)2xEu
z
f(z)=-2Eu=1n(1-zxEu)
f(z)=0 0
f(z)=-2Eu=1n(0 0-1xEu)=2Eu=1n1xEu>0 0
xEu>0 0. Sem essa suposição, poderíamos realmente arriscar que tivéssemos encontrado o máximo!

Como referência, talvez https://en.wikipedia.org/wiki/Fr%C3%A9chet_mean ou https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_mean ou referências a ele.

kjetil b halvorsen
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Obrigado pela sua resposta. Uma referência me salvaria algum espaço. Quero citar o resultado como um lema em outras provas sem ter que incluir uma prova independente do lema.
Martin Van der Linden
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É difícil encontrar uma referência explícita, é considerado básico merecer uma! Você não pode simplesmente dizer que a prova é um exercício básico de cálculo?
b Kjetil HALVORSEN
Por mais básico que seja, sempre prefiro fornecer uma referência. Mas entendo que é difícil encontrar uma referência para os resultados básicos, e deixar a prova para o leitor é claramente uma opção.
Martin Van der Linden
Ping temporário fora de tópico: considere votar no sinônimo spearman-> spearman-rho aqui stats.stackexchange.com/tags/spearman-rho/synônimos . Obrigado
ameba diz Reinstate Monica
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Você pode apontar que essa é uma regressão de mínimos quadrados ponderada com pesos .1/xi

Para fazer a conexão com as referências, volte para uma notação padrão na qual você procura encontrar que minimizeβ

ωi(yiβ)2.

Este é um modelo com uma única constante regressor e pesos matriz

X=(111)
W=(ω1000ω20000ωn).

" " como " " (a "resposta") e o parâmetro a ser estimado é vez de . Os pesos são . É necessário que todos eles excedam . A solução éxiyiβzωi=1/xi0

β^=(XWX)1XWy=ixiωiiωi=ixi/xii1/xi=n1/xi,

QED .


Comentários

  1. A mesma análise se aplica a quaisquer conjuntos positivos de pesos, fornecendo uma generalização da média harmônica e uma maneira útil de caracterizá-la.

  2. Quando, tal como em uma experiência controlada, as são vistos como fixo (e não aleatório), a maquinaria de mínimos quadrados ponderados, fornece os intervalos de confiança e intervalos de predição, etc . Em outras palavras, colocar o problema nessa configuração automaticamente fornece uma maneira de avaliar a precisão da média harmônica.xi

  3. Visualizar a média harmônica como a solução para um problema ponderado fornece informações sobre sua natureza e, principalmente, sua sensibilidade aos dados. É agora claro que os mais importantes contribuintes são aqueles com os menores valores de --e sua importância foi quantificada pela matriz de pesos .xiW

Referência

Douglas C. Montgomery, Elizabeth A. Peck e G. Geoffrey Vining, Introdução à Análise de Regressão Linear. Quinta edição. J. Wiley, 2012. Seção 5.5.2.

whuber
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