A média harmônica minimiza a soma dos erros relativos ao quadrado

Eu estou procurando uma referência onde está provado que a média harmônica

$$\bar{x}^h = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}}$$

minimiza (em ) a soma dos erros relativos ao quadrado$z$

$$\sum_{i=1}^n \left( \frac{(x_i - z)^2}{x_i}\right).$$

Por que você precisa de uma referência? Este é um problema simples de cálculo: para que o problema que você o formulou faça sentido, devemos assumir que todos . Em seguida, defina a função Depois calcule a derivada em relação a : e a resolução da equação fornece a solução. Agora, é claro que devemos verificar se isso é realmente mínimo, para que calcule a segunda derivada: para a última desigualdade que usamos, finalmente, que todosf ( z ) = n ∑ i = 1 ( x i - z ) $x_i > 0$ zf′(z)=-2⋅n ∑ i=1(1-

$$f(z) = \sum_{i=1}^n \frac{(x_i - z)^2}{x_i}$$ $z$ $$f'(z) = -2\cdot \sum_{i=1}^n (1-\frac{z}{x_i})$$ $f'(z)=0$ $$f''(z) = -2 \cdot \sum_{i=1}^n (0-\frac1{x_i}) = 2 \sum_{i=1}^n \frac1{x_i} > 0$$ $x_i>0$. Sem essa suposição, poderíamos realmente arriscar que tivéssemos encontrado o máximo!

Como referência, talvez https://en.wikipedia.org/wiki/Fr%C3%A9chet_mean ou https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_mean ou referências a ele.

Você pode apontar que essa é uma regressão de mínimos quadrados ponderada com pesos .$1/x_i$

Para fazer a conexão com as referências, volte para uma notação padrão na qual você procura encontrar que minimize$\beta$

$$\sum \omega_i (y_i - \beta)^2.$$

Este é um modelo com uma única constante regressor e pesos matriz

$$X = \pmatrix{1\\1\\\vdots\\1}$$ $$W = \pmatrix{\omega_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \omega_2 & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \omega_n}.$$

" " como " " (a "resposta") e o parâmetro a ser estimado é vez de . Os pesos são . É necessário que todos eles excedam . A solução é$x_i$$y_i$$\beta$$z$$\omega_i=1/x_i$$0$

$$\hat\beta = (X^\prime W X)^{-1}X^\prime W y = \frac{\sum_i x_i\omega_i }{\sum_i \omega_i} = \frac{\sum_i x_i/x_i }{\sum_i 1/x_i} = \frac{n}{\sum 1/x_i},$$

QED .

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Comentários

1. A mesma análise se aplica a quaisquer conjuntos positivos de pesos, fornecendo uma generalização da média harmônica e uma maneira útil de caracterizá-la.

2. Quando, tal como em uma experiência controlada, as são vistos como fixo (e não aleatório), a maquinaria de mínimos quadrados ponderados, fornece os intervalos de confiança e intervalos de predição, etc . Em outras palavras, colocar o problema nessa configuração automaticamente fornece uma maneira de avaliar a precisão da média harmônica.$x_i$

3. Visualizar a média harmônica como a solução para um problema ponderado fornece informações sobre sua natureza e, principalmente, sua sensibilidade aos dados. É agora claro que os mais importantes contribuintes são aqueles com os menores valores de --e sua importância foi quantificada pela matriz de pesos .$x_i$$W$

Referência

Douglas C. Montgomery, Elizabeth A. Peck e G. Geoffrey Vining, Introdução à Análise de Regressão Linear. Quinta edição. J. Wiley, 2012. Seção 5.5.2.