probabilidade de gama maior que exponencial

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Deixei XGamma(3,3)e .YExp(1)

Como calculo ?P(X>Y)

Acredito reescrevê-lo como mas não tenho certeza de como calcular para duas distribuições diferentes?P(XY>0)XY

Joe Stats
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Possível duplicado de Diferença de variáveis aleatórias Gama
COOLSerdash
Aqui está um artigo que trata do seu problema. Eu acredito que é possível obter uma densidade aproximada para no seu caso. Observe que uma distribuição exponencial padrão é uma distribuição . XYGamma(1,1)
COOLSerdash
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@COOL Embora essa abordagem funcione, parece uma maneira excessivamente complicada de encontrar uma única probabilidade: não precisamos descobrir toda a distribuição da diferença.
whuber
A suposição crucial de independência de e está ausente. XY
StubbornAtom

Respostas:

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Se tiver a função de densidade e independente possui a função de densidade e depois Xλ(λx)2Γ(3)exp(λx)1{x:x>0}Yexp(y)1{y:x>0}

P{X<Y}=0λ(λx)2Γ(3)exp(λx)xexp(y)dydx=0λ(λx)2Γ(3)exp((λ+1)x)dx=(λλ+1)30(λ+1)((λ+1)x)2Γ(3)exp((λ+1)x)dx=(λλ+1)3.

Considere também um processo de Poisson com taxa de chegada . Podemos decompor esse processo em dois subprocessos independentes de Poisson e de taxas e respectivamente, rotulando cada chegada como pertencendo ao processo (com probabilidade ) ou para o processo (com probabilidade ), com cada rótulo sendo escolhido independentemente de todos os outros rótulos. Então, pode ser considerado o horário da terceira chegada (após ) noλ+1XYλ1Xλλ+1Y1λ+1Xt=0Xsubprocesso enquanto é o horário da primeira chegada (após ) no subprocessoCom essa interpretação, é apenas o evento em que as três primeiras chegadas após foram rotuladas como pertencentes ao subprocesso , e esse evento tem probabilidade . Olha mãe! Nenhuma integral foi calculada para chegar à resposta!Yt=0YX<Yt=0X(λλ+1)3

Dilip Sarwate
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Existe uma relação entre variáveis ​​aleatórias gama e beta que leva a uma expressão geral para para quaisquer duas variáveis ​​aleatórias gama independentes.P[X>Y]

E se XGamma(α1,β1) e YGamma(α2,β2), Onde α é o parâmetro shape β é o parâmetro de escala e a média é αβ, então

P[X>Y]=Hα2,α1(β1β1+β2),

Onde Hé a função de distribuição cumulativa de uma variável aleatória beta. No seu caso eu calculoP[X>Y]=0.984375

Se você usou uma parametrização diferente da distribuição gama, isso precisará ser ajustado.

Aqui está o desenvolvimento. Nós podemos construirβ1YGamma(α2,β1β2) e β2XGamma(α1,β1β2). Agora considere

W=β1Yβ1Y+β2X

Sabe-se (consulte https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution , Seção de Distribuições e Propriedades Relacionadas) queW tem uma distribuição beta com o primeiro parâmetro de forma de α2 e segundo parâmetro de forma de α1.

Então

P[W=β1Yβ1Y+β2X<β1β1+β2]=Hα2,α1(β1β1+β2),

Onde H é a função de distribuição cumulativa de uma variável aleatória beta.

Tomando recíprocos e simplificando,

P[W=β1Yβ1Y+β2X<β1β1+β2]=P[β1Y+β2Xβ1Y>β1+β2β1]

=P[1+β2Xβ1Y>1+β2β1]=P[XY>1]=P[X>Y]=Hα2,α1(β1β1+β2)
Soakley
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Você poderia demonstrar esse resultado ou citar uma referência acessível? Estou tendo dificuldades para entender por que deveria ser verdade. Por exemplo, deixeα1=α2=β2=1 e considere o que acontece como β1cresce grande. O lado direito se aproximaF1,1(1)=0.391826 por baixo, enquanto o lado esquerdo deve se aproximar 1.
whuber
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Onde você arranja F1,1(1)=0.391826? Como declarado,Fé o cdf de uma variável aleatória beta. assimF1,1(1)=1.Eu vejo como a notação pode ser enganosa. Vou adicionar algum desenvolvimento para mostrar o resultado, se eu puder ganhar tempo.
soakley
Desculpe, eu esqueci a parte "beta" e presumi que você estava se referindo à distribuição da relação F (intimamente relacionada)! Obrigado por explicar.
whuber
@whuber soakley Eu acredito que isso é algo como: P[X>Y]=P[Y<β2β1X] Onde XGamma(α1,1) e YGamma(α2,1) são versões em escala unitária de X e Y. UsandoYY+XBeta(α2,α1)( Wikipedia ) e observando queP[YY+X<c]=P[Y<c1cX], montamos c1c=β2β1 dando c=β1β1+β2.
A. Webb
Sim, adicionei o desenvolvimento e alterei o beta cdf para ser designado como H a fim de evitar confusão com um Fdistribuição.
soakley
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A maneira mecânica de calcular P[Y>X] é por integral duplo

0fX(x)dxxfY(y)dy

Onde a integral interna pode ser reconhecida como a função de sobrevivência de Y, um exponencial com o parâmetro λ=1, em x, igual a ex. Então a integral restante

0exfX(x)dx

pode ser reconhecida como a função geradora de momento X avaliado em 1. O MGF de umGamma é (1θt)k, que para θ=3,k=3,t=1 é

(1+3)3=0.015625

A questão era para P[X>Y]=1P[Y>X]então queremos

1(1+3)3=10.015625=0.984375

o que concorda com a resposta de Soakley .

A. Webb
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