probabilidade de gama maior que exponencial

Deixei $X \sim Gamma(3,3)$e .$Y \sim Exp(1)$

Como calculo ?$P(X>Y)$

Acredito reescrevê-lo como mas não tenho certeza de como calcular para duas distribuições diferentes?$P(X-Y>0)$$X-Y$

Se tiver a função de densidade e independente possui a função de densidade e depois $X$$\lambda \frac{(\lambda x)^2}{\Gamma(3)}\exp(-\lambda x)\mathbf 1_{\{x\colon x > 0\}}$$Y$$\exp(-y)\mathbf 1_{\{y\colon x > 0\}}$

$$\begin{align} P\{X < Y\} &= \int_{0}^\infty \lambda \frac{(\lambda x)^2}{\Gamma(3)}\exp(-\lambda x) \int_{x}^\infty \exp(-y)\, \mathrm dy \, \mathrm dx\\ &= \int_{0}^\infty \lambda \frac{(\lambda x)^2}{\Gamma(3)}\exp(-(\lambda+1) x)\, \mathrm dx\\ &= \left(\frac{\lambda}{\lambda+1}\right)^3\int_{0}^\infty (\lambda+1) \frac{((\lambda+1) x)^2}{\Gamma(3)}\exp(-(\lambda+1) x)\, \mathrm dx\\ &= \left(\frac{\lambda}{\lambda+1}\right)^3. \end{align}$$

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Considere também um processo de Poisson com taxa de chegada . Podemos decompor esse processo em dois subprocessos independentes de Poisson e de taxas e respectivamente, rotulando cada chegada como pertencendo ao processo (com probabilidade ) ou para o processo (com probabilidade ), com cada rótulo sendo escolhido independentemente de todos os outros rótulos. Então, pode ser considerado o horário da terceira chegada (após ) no$\lambda+1$$\mathcal X$$\mathcal Y$$\lambda$$1$$\mathcal X$$\frac{\lambda}{\lambda+1}$$\mathcal Y$$\frac{1}{\lambda+1}$$X$$t = 0$$\mathcal X$subprocesso enquanto é o horário da primeira chegada (após ) no subprocessoCom essa interpretação, é apenas o evento em que as três primeiras chegadas após foram rotuladas como pertencentes ao subprocesso , e esse evento tem probabilidade . Olha mãe! Nenhuma integral foi calculada para chegar à resposta!$Y$$t = 0$$\mathcal Y$$X < Y$$t=0$$\mathcal X$$\displaystyle \left(\frac{\lambda}{\lambda+1}\right)^3$

Existe uma relação entre variáveis ​​aleatórias gama e beta que leva a uma expressão geral para para quaisquer duas variáveis ​​aleatórias gama independentes.$P[X>Y]$

E se $X \sim \rm{Gamma}(\alpha_1,\beta_1)$ e $Y \sim \rm{Gamma}(\alpha_2,\beta_2),$ Onde $\alpha$ é o parâmetro shape $\beta$ é o parâmetro de escala e a média é $\alpha \beta,$ então

$$P[X>Y] = H_{\alpha_2,\alpha_1} \left( \frac{\beta_1}{\beta_1+\beta_2} \right),$$

Onde $H$é a função de distribuição cumulativa de uma variável aleatória beta. No seu caso eu calculo$P[X>Y]=0.984375$

Se você usou uma parametrização diferente da distribuição gama, isso precisará ser ajustado.

Aqui está o desenvolvimento. Nós podemos construir$\beta_1Y \sim \rm{Gamma}(\alpha_2,\beta_1\beta_2)$ e $\beta_2X \sim \rm{Gamma} (\alpha_1,\beta_1 \beta_2).$ Agora considere

$$W = \frac{\beta_1Y}{\beta_1Y+\beta_2X}$$

Sabe-se (consulte https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution , Seção de Distribuições e Propriedades Relacionadas) que$W$ tem uma distribuição beta com o primeiro parâmetro de forma de $\alpha_2$ e segundo parâmetro de forma de $\alpha_1.$

Então

$$P \left[ W = \frac{\beta_1Y}{\beta_1Y+\beta_2X}<\frac{\beta_1}{\beta_1+\beta_2} \right]=H_{\alpha_2,\alpha_1} \left( \frac{\beta_1}{\beta_1+\beta_2} \right),$$

Onde $H$ é a função de distribuição cumulativa de uma variável aleatória beta.

Tomando recíprocos e simplificando,

$$P \left[ W = \frac{\beta_1Y}{\beta_1Y+\beta_2X}<\frac{\beta_1}{\beta_1+\beta_2} \right]=P \left[ \frac{\beta_1Y+\beta_2X}{\beta_1Y} > \frac{\beta_1+\beta_2}{\beta_1} \right]$$

$$= P \left[ 1 + \frac{\beta_2X}{\beta_1Y}>1+\frac{\beta_2}{\beta_1} \right]=P \left[ \frac{X}{Y} >1 \right] =P \left[ X>Y \right] =H_{\alpha_2,\alpha_1} \left( \frac{\beta_1}{\beta_1+\beta_2} \right)$$

A maneira mecânica de calcular $P[Y>X]$ é por integral duplo

$$\int_0^\infty f_X(x) dx \int_x^\infty f_Y(y) dy$$

Onde a integral interna pode ser reconhecida como a função de sobrevivência de $Y$, um exponencial com o parâmetro $\lambda=1$, em $x$, igual a $e^{-x}$. Então a integral restante

$$\int_0^\infty e^{-x} f_X(x) dx$$

pode ser reconhecida como a função geradora de momento $X$ avaliado em $-1$. O MGF de um$\rm{Gamma}$ é $(1-\theta t)^{-k}$, que para $\theta = 3, k=3, t=-1$ é

$$(1+3)^{-3} = 0.015625$$

A questão era para $P[X>Y] = 1-P[Y>X]$então queremos

$$1-(1+3)^{-3} = 1-0.015625 = 0.984375$$

o que concorda com a resposta de Soakley .