Como entender a definição da função de distribuição empírica

Estou lendo o All of Nonparametric Statistics , de Larry Wasserman. Na página 12, ele define a função de distribuição empírica como:

A função de distribuição empírica $\hat{F_n}$ é o CDF que coloca massa $\frac{1}{n}$ em cada ponto de dados $X_i$. Formalmente,

$$\hat{F_n}(x)=\frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}I(X_i\le x)$$

Onde

$$I(X_i\le x)=\left\{\begin{matrix} 1& if\ X_i \le x\\ 0 & if \ X_i>x \end{matrix}\right.$$

Minhas perguntas são:

1. Porque é $\frac{1}{n}$ chamado massa?

2. O CDF coloca massa $\frac{1}{n}$ para cada ponto de dados $X_i$, então, pelo meu entendimento, deve ser $\frac{1}{n}X_1+\frac{1}{n}X_2+...+\frac{1}{n}X_n$.

Porque é $\hat{F_n}(x)=\frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}I(X_i\le x)$? Eu acho que essa fórmula coloca massa$\frac{1}{n}$ em cada função indicadora $I(X_i \le x)$ mas não $X_i$.

Qual é o significado de "coloca" algo "em cada ponto de dados"?

Porque é $\frac{1}{n}$ chamado massa?

O termo "massa" refere-se a uma quantidade de probabilidade em um único ponto discreto, distinto de "densidade" em relação às distribuições contínuas.

O CDF coloca massa $\frac{1}{n}$ para cada ponto de dados $X_i$, então, pelo meu entendimento, deve ser $\frac{1}{n}X_1+\frac{1}{n}X_2+...+\frac{1}{n}X_n$.

Isso não é uma pergunta, é uma afirmação - mas seu entendimento, dado que há um erro de várias maneiras ao mesmo tempo, para que eu possa discutir isso.

Primeiro a expressão $\frac{1}{n}X_1+\frac{1}{n}X_2+...+\frac{1}{n}X_n$é realmente uma expressão para a média da amostra (como uma variável aleatória) - significa literalmente calcular a média dos valores. Presumo que você pretendeu escrever uma expressão para a função de probabilidade empírica aqui - mas lembre-se de que devemos lidar com uma função de distribuição , não com a função de probabilidade, portanto, é necessário encontrar a proporção da função empírica. probabilidade que está no ou à esquerda de cada valor possível de$x$ - é assim que uma função de distribuição representa probabilidade 1 / n em cada ponto:

Essas são duas representações diferentes do mesmo objeto subjacente. Você pode ver que o pmf empírico mostra uma massa de 1 / n em cada valor observado, enquanto o ecdf mostra uma altura que aumenta em 1 / n em cada valor observado (e que isso corresponde a 1 / n vezes a soma das funções do indicador você mencionou)

Qual é o significado de "coloca" algo "em cada ponto de dados"?

Não sei exatamente o que causa a dificuldade aqui, as palavras assumem essencialmente seus significados comuns; veja as imagens acima que mostram uma proporção de$1/n$ em cada valor observado $x_i$; se você tratar o epmf e o ecdf como um pmf e um cdf respectivamente, essas são probabilidades. Possivelmente está tratando $\hat{F}$como uma entidade ativa (que pode "colocar" coisas em algum lugar) que está confundindo você - seria mais fácil entender se dissesse "tem" em vez de "coloca"? Se isso não ajudar, você precisará esclarecer o que precisa ser explicado lá.