O uso do desvio padrão baseia-se na suposição de distribuição normal?

Gostaria de saber se o desvio padrão sempre foi construído com base na suposição de uma distribuição normal. Em outras palavras, se a amostra não for normalmente distribuída, o desvio padrão deve ser considerado um erro?

Não. O uso do desvio padrão não assume normalidade.

A variação de uma variável aleatória é definida como . Enquanto a variação existir, o desvio padrão também existe. O desvio padrão é a raiz quadrada da variação.$\operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}[(X - \operatorname{E}[X])^2]$

Você pode usar a variação ou o desvio padrão a qualquer momento que os dois existirem. A variação surge em inúmeras situações.$\operatorname{Var}(X)$

Existem teoremas especiais, lemas, etc ... embora para o caso especial em que segue a distribuição normal.$X$

Um uso comum do desvio padrão que depende da normalidade:

Se segue a distribuição normal, há aproximadamente uma probabilidade de 95% de cair dentro de dois desvios padrão da média.$X$$X$

Essa afirmação é verdadeira se segue a distribuição normal (e várias outras), mas não é verdade em geral.$X$

Um uso comum da variação que não depende da normalidade:

Seja uma variável aleatória com média e variância . Definir para como variáveis aleatórias independentes, cada um seguindo a distribuição idêntica como .E [ X ] = μ Var ( X ) = σ 2 X i i = 1 , … , n $X$$\operatorname{E}[X] = \mu$$\operatorname{Var}(X) = \sigma^2$$X_i$$i=1, \ldots, n$$X$

Defina a média da amostra com base em observações como: ˉ X n = $n$

Pelo Teorema do Limite Central, converge para uma variável aleatória normalmente distribuída com média e variância . (Mais precisamente converge na distribuição para como .)μσ$\bar{X}_n$$\mu$$\frac{\sigma^2}{n}$$\sqrt{n}\left( \bar{X}_n - \mu \right)$$\mathcal{N}(0,\sigma^2)$$n \rightarrow \infty$

A implicação prática é que a média da amostra para grande pode ser tratado como uma variável aleatória com distribuição normal cuja variância é uma função da variação de . (Lembre-se de Var ( X ) = σ 2. ) E esse resultado não requer que X seja normal. (Requer um n mais baixo para funcionar bem se X estiver mais próximo, em certo sentido, da distribuição normal.)$\bar{X}_n$$n$$\frac{\sigma^2}{n}$$X$$\operatorname{Var}(X)=\sigma^2$$X$$n$$X$

O Teorema do Limite Central é uma ferramenta onipresente que usa a variação de e não precisa de X para seguir a distribuição normal.$X$$X$

$S^2$$\hat{\sigma}^2_{ML}$$\mathrm{Var}[X_i]$