A média geométrica é um estimador imparcial da média de qual distribuição contínua?

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Existe alguma distribuição contínua expressável em forma fechada, cuja média é tal que a média geométrica das amostras é um estimador imparcial para essa média?

Atualização: Acabei de perceber que minhas amostras precisam ser positivas (caso contrário, a média geométrica pode não existir), então talvez contínua não seja a palavra certa. Que tal uma distribuição que é zero para valores negativos da variável aleatória e é contínua para valores positivos. Algo como uma distribuição truncada.

user53608
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Uma distribuição pode ser contínua enquanto possui um espaço de amostra estritamente positivo (por exemplo, a distribuição gama).
gammer
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Você também quer dizer um exemplo em que a média geométrica de uma amostra é um estimador imparcial do primeiro momento? Eu só vi a média geométrica de um conjunto discreto de dados definido e incerto como a média geométrica "verdadeira" (ou seja, no nível da população) seria definida para uma distribuição contínua ... Talvez exp(E(log(X))) ?
gammer
Funciona para a distribuição lognormal.
Michael R. Chernick
É válido se a variável aleatória igual a alguma constante escalar positiva c c quase certamente . Não de outra forma. Xc
Matthew Gunn

Respostas:

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Acredito que você esteja perguntando o que é, se houver, a distribuição de um rv , de modo que, se tivermos uma amostra iid de tamanho n > 1 dessa distribuição, ela manteráXn>1

E[GM]=E[(i=1nXi)1/n]=E(X)

Devido à suposição iid , temos

E[(i=1nXi)1/n]=E(X11/n...Xn1/n)=E(X11/n)...E(Xn1/n)=[E(X1/n)]n

e por isso estamos perguntando se podemos ter

[E(X1/n)]n=E(X)

Mas pela desigualdade de Jensen, e pelo fato de a função poder ser estritamente convexa para poderes superiores à unidade, temos que, quase certamente para uma variável aleatória não degenerada (não constante),

[E(X1/n)]n<E[(X1/n)]n=E(X)

Portanto, não existe tal distribuição.

GM

E(Xs)=exp{sμ+s2σ22}

μσ

s=1/n

E(GM)=[E(X1/n)]n=[exp{(μ/n)+σ22n2}]n=exp{μ+σ22n}

(que nos diz que é um estimador tendencioso da mediana). Mas

lim[E(X1/n)]n=limexp{μ+σ22n}=eμ

qual é a mediana da distribuição. Pode-se também mostrar que a variância da média geométrica da amostra converge para zero e essas duas condições são suficientes para que esse estimador seja assintoticamente consistente - para a mediana,

GMpeμ
Alecos Papadopoulos
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Talvez deva ser acrescentado que a desigualdade de Jensen, aplicada com uma função estritamente convexa, é uma igualdade apenas se for tão constante. X
Olivier
@ Olivier: Eu acho que é uma propriedade conhecida o suficiente para que possa adicionar desordem para incluí-la. De qualquer forma , a desigualdade de Jensen nem é realmente necessária, pois considerar o caso já é suficiente, juntamente com o fato implica quase certamente por um argumento ainda mais elementar. n=2Var(X)=0X=0
cardeal
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Esse é um argumento semelhante à excelente resposta de Alecos, pois a desigualdade média aritmética e média geométrica é uma conseqüência da desigualdade de Jensen.

  • Seja a média aritmética:AnAn=1ni=1nXi

  • Seja a média geométrica:GnGn=(i=1Xi)1n

A desigualdade média aritmética e média geométrica indica que com igualdade se e somente se toda observação for igual: . (A desigualdade da AMGM é uma conseqüência da desigualdade de Jensen .)AnGnX1=X2==Xn

Caso 1: quase certamenteX1=X2==Xn

Então .E[Gn]=E[An]=E[X]

Em certo sentido, este é um caso totalmente degenerado.

Caso 2: paraP(XiXj)>0ij

Depois, há uma probabilidade positiva de que a média geométrica seja menor que a média aritmética. Como para todos os resultados e , temos o . E [ A n ] = E [ X ] E [ G n ] < E [ X ]GnAnE[An]=E[X]E[Gn]<E[X]

Matthew Gunn
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